Номер 439, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

439. Найдите радиус шара, описанного около конуса, в который вписана правильная треугольная пирамида со стороной основания $12\sqrt{3}$ см и боковым ребром 20 см.

Дано:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды $a = 12\sqrt{3}$ см.

Боковое ребро пирамиды $L = 20$ см.

Пирамида вписана в конус, конус вписан в шар.

Перевод в СИ:

$a = 12\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$L = 20 \times 10^{-2}$ м

Найти:

Радиус шара $R_{шара}$.

Решение:

Поскольку правильная треугольная пирамида вписана в конус, это означает, что основание пирамиды (правильный треугольник) вписано в основание конуса (круг), а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

Радиус основания конуса $r_{кон}$ будет равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$. Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$r_{кон} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$ см.

Высота конуса $h_{кон}$ будет равна высоте пирамиды. Высота пирамиды, радиус описанной окружности основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой.

$h_{кон}^2 + r_{кон}^2 = L^2$

$h_{кон}^2 + 12^2 = 20^2$

$h_{кон}^2 + 144 = 400$

$h_{кон}^2 = 400 - 144 = 256$

$h_{кон} = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь найдем радиус шара $R_{шара}$, описанного около конуса. Для этого используем формулу для радиуса шара, описанного около конуса с радиусом основания $r$ и высотой $h$: $R_{шара} = \frac{r^2 + h^2}{2h}$.

$R_{шара} = \frac{r_{кон}^2 + h_{кон}^2}{2h_{кон}}$

$R_{шара} = \frac{12^2 + 16^2}{2 \times 16}$

$R_{шара} = \frac{144 + 256}{32}$

$R_{шара} = \frac{400}{32}$

$R_{шара} = \frac{100}{8}$

$R_{шара} = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Ответ: 12.5 см