Номер 434, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

434. Дан конус, в осевое сечение которого вписана окружность. Высота конуса в 4 раза больше радиуса этой окружности. Найдите площадь поверхности конуса, если его образующая равна 9 см.

Дано:

Конус.

В осевое сечение конуса вписана окружность.

Высота конуса $H$ в 4 раза больше радиуса этой окружности $r_0$: $H = 4r_0$.

Образующая конуса $L = 9$ см.

Перевод в СИ:

$L = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$.

Найти:

Площадь поверхности конуса $S_{пов}$.

Решение:

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник. Его боковые стороны равны образующей конуса $L$, а основание равно диаметру основания конуса $2R$, где $R$ – радиус основания конуса. Высота этого треугольника совпадает с высотой конуса $H$.

В этот равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса $r_0$. Радиус вписанной окружности в треугольник выражается формулой $r_0 = \frac{S_{тр}}{p_{тр}}$, где $S_{тр}$ – площадь треугольника, а $p_{тр}$ – его полупериметр.

Площадь осевого сечения (треугольника) $S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$.

Полупериметр осевого сечения $p_{тр} = \frac{\text{основание} + \text{боковая сторона} + \text{боковая сторона}}{2} = \frac{2R + L + L}{2} = \frac{2R + 2L}{2} = R + L$.

Таким образом, радиус вписанной окружности $r_0 = \frac{RH}{R+L}$.

По условию задачи, высота конуса $H$ в 4 раза больше радиуса этой окружности: $H = 4r_0$.

Подставим выражение для $r_0$ в это равенство:

$H = 4 \cdot \frac{RH}{R+L}$

Поскольку $H \neq 0$ (высота конуса не может быть нулевой), мы можем разделить обе части уравнения на $H$:

$1 = \frac{4R}{R+L}$

Умножим обе части на $(R+L)$:

$R+L = 4R$

Вычтем $R$ из обеих частей:

$L = 3R$

Нам дана образующая конуса $L = 9$ см. Подставим это значение в полученное равенство:

$9 = 3R$

$R = \frac{9}{3}$

$R = 3$ см.

Полная площадь поверхности конуса $S_{пов}$ состоит из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

Формула площади основания конуса: $S_{осн} = \pi R^2$.

Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R L$.

Следовательно, $S_{пов} = \pi R^2 + \pi R L$.

Подставим найденное значение $R = 3$ см и данное значение $L = 9$ см:

$S_{пов} = \pi (3)^2 + \pi (3)(9)$

$S_{пов} = 9\pi + 27\pi$

$S_{пов} = 36\pi$ см$^2$.

Ответ:

Площадь поверхности конуса составляет $36\pi$ см$^2$.