Номер 435, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Тела вращения и их элементы». III. Тела вращения и их элементы - номер 435, страница 133.

Условие.

435. В шар радиуса $R$ вписан конус, угол между высотой и образующей которого равен $\alpha$. Найдите высоту конуса.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:
Радиус шара: $R$
Угол между высотой и образующей конуса: $\alpha$

Найти:
Высота конуса: $h$

Решение:
Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него конуса. Это сечение представляет собой круг радиуса $R$ с вписанным в него равнобедренным треугольником. Вершина треугольника является вершиной конуса, а его основание - диаметром основания конуса. Пусть $h$ - высота конуса, $r$ - радиус основания конуса, а $l$ - образующая конуса. Угол между высотой и образующей равен $\alpha$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей конуса, справедливы следующие соотношения:
$r = h \tan \alpha$ (1)

Пусть центр шара находится в начале координат $(0,0)$. Тогда вершина конуса, лежащая на поверхности шара, может быть обозначена как $(0, R)$ (без потери общности, считаем, что конус направлен вниз).

Основание конуса представляет собой круг, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси, проходящей через центр шара. Пусть эта плоскость находится на расстоянии $y_0$ от центра шара. Высота конуса будет $h = R - y_0$. Отсюда следует $y_0 = R - h$.

Точки на окружности основания конуса также лежат на поверхности шара. Радиус основания конуса $r$ и координата $y_0$ связаны соотношением из уравнения окружности, лежащей в осевом сечении шара:
$r^2 + y_0^2 = R^2$ (2)

Подставим выражение для $y_0$ в уравнение (2):
$r^2 + (R-h)^2 = R^2$
$r^2 + R^2 - 2Rh + h^2 = R^2$
$r^2 = 2Rh - h^2$
$r^2 = h(2R - h)$ (3)

Теперь подставим выражение для $r$ из (1) в уравнение (3):
$(h \tan \alpha)^2 = h(2R - h)$
$h^2 \tan^2 \alpha = 2Rh - h^2$

Перенесем все члены с $h$ в левую часть:
$h^2 \tan^2 \alpha + h^2 = 2Rh$
$h^2 (\tan^2 \alpha + 1) = 2Rh$

Известно тригонометрическое тождество $\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha = 1 / \cos^2 \alpha$. Подставим его:
$h^2 \sec^2 \alpha = 2Rh$

Так как высота конуса $h$ не может быть равна нулю (иначе это не конус), мы можем разделить обе части уравнения на $h$:
$h \sec^2 \alpha = 2R$
$h = \frac{2R}{\sec^2 \alpha}$
$h = 2R \cos^2 \alpha$

Ответ:
Высота конуса $h = 2R \cos^2 \alpha$.