Номер 440, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

440. a) Прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого 9 см и 12 см, а боковое ребро 20 см, вписан в цилиндр. Найдите длину образующей цилиндра, радиус его основания и диагональ осевого сечения этого цилиндра.

б) В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, боковая грань которой – квадрат. Найдите угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра.

a)

Дано:

Прямоугольный параллелепипед вписан в цилиндр.

Стороны основания параллелепипеда: $a = 9$ см, $b = 12$ см.

Боковое ребро параллелепипеда: $h_p = 20$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 9$ см $= 0.09$ м

$b = 12$ см $= 0.12$ м

$h_p = 20$ см $= 0.20$ м

Найти:

Длину образующей цилиндра $H$.

Радиус основания цилиндра $R$.

Диагональ осевого сечения цилиндра $D_{ос}$.

Решение:

Когда прямоугольный параллелепипед вписан в цилиндр, его высота равна длине образующей цилиндра, а диагональ основания параллелепипеда является диаметром основания цилиндра.

1. Длина образующей цилиндра ($H$) равна боковому ребру параллелепипеда:

$H = h_p = 20$ см $= 0.20$ м.

2. Для нахождения радиуса основания цилиндра сначала найдем диагональ основания параллелепипеда. Основание параллелепипеда - это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ основания ($d_{осн}$) находится по теореме Пифагора:

$d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2}$

$d_{осн} = \sqrt{(0.09 \text{ м})^2 + (0.12 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0081 \text{ м}^2 + 0.0144 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0225 \text{ м}^2} = 0.15 \text{ м}$.

Диаметр основания цилиндра $D$ равен диагонали основания параллелепипеда:

$D = d_{осн} = 0.15$ м.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{0.15 \text{ м}}{2} = 0.075 \text{ м}$.

3. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого является диаметром основания цилиндра ($D$), а другая - длиной образующей (высотой) цилиндра ($H$). Диагональ осевого сечения ($D_{ос}$) находится по теореме Пифагора:

$D_{ос} = \sqrt{D^2 + H^2}$

$D_{ос} = \sqrt{(0.15 \text{ м})^2 + (0.20 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0225 \text{ м}^2 + 0.04 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0625 \text{ м}^2} = 0.25 \text{ м}$.

Перевод результатов обратно в сантиметры для удобства:

$H = 0.20$ м $= 20$ см.

$R = 0.075$ м $= 7.5$ см.

$D_{ос} = 0.25$ м $= 25$ см.

Ответ: Длина образующей цилиндра: $20$ см, радиус его основания: $7.5$ см, диагональ осевого сечения: $25$ см.

б)

Дано:

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма.

Боковая грань призмы - квадрат.

Найти:

Угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра $\alpha$.

Решение:

1. Пусть $a$ - длина стороны основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ - высота призмы. Так как призма является правильной шестиугольной и вписана в цилиндр, ее высота $h$ совпадает с высотой цилиндра.

2. Боковая грань правильной призмы представляет собой прямоугольник. По условию, эта боковая грань является квадратом. Это означает, что длина стороны основания $a$ равна высоте призмы $h$, то есть $a = h$.

3. Ось цилиндра проходит через центры оснований и параллельна всем боковым ребрам призмы.

4. Рассмотрим одну из боковых граней призмы. Пусть это квадрат $ABCD$, где $AB$ - сторона основания призмы, а $AD$ - боковое ребро призмы. Соответственно, $AB = a$ и $AD = h$. Поскольку $a = h$, то $AB = AD$.

5. Нам нужно найти угол между диагональю боковой грани (например, $AC$) и осью цилиндра. Поскольку боковое ребро $AD$ параллельно оси цилиндра, искомый угол равен углу между диагональю $AC$ и боковым ребром $AD$.

6. В квадрате $ABCD$, треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Катеты этого треугольника: $AD = h$ и $CD = a$.

7. Поскольку $a = h$, то $AD = CD$. Таким образом, треугольник $ADC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

8. Угол $\alpha$ между диагональю $AC$ и боковым ребром $AD$ - это угол $\angle CAD$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы, прилежащие к гипотенузе, равны $45^\circ$.

Можно также вычислить через тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CD}{AD}$.

Так как $CD = a$ и $AD = h$, а $a = h$, то:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{a} = 1$.

Следовательно, $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.