Номер 447, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

447. В равностороннем цилиндре точка окружности верхнего основания соединена отрезком с точкой окружности нижнего основания, при этом угол между радиусами окружностей, проведенными в эти точки, равен 60°. Тогда тангенс угла между осью цилиндра и прямой, содержащей указанный отрезок равен:

1) 1;

2) $1/2$;

3) $\sqrt{3}$;

4) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

5) 2.

Дано:

Равносторонний цилиндр (высота $H$ равна диаметру $2R$, где $R$ - радиус основания).
Точка $A$ на окружности верхнего основания.
Точка $B$ на окружности нижнего основания.
Угол между радиусами, проведенными в эти точки (если их привести к общему центру), равен $60^\circ$.

Перевод в СИ:

Пусть радиус цилиндра $R$.
Высота цилиндра $H = 2R$.
Угол между радиусами $\phi = 60^\circ$.

Найти:

Тангенс угла между осью цилиндра и прямой, содержащей отрезок $AB$.

Решение:

1. Пусть $R$ - радиус основания цилиндра. Поскольку цилиндр равносторонний, его высота $H$ равна диаметру основания: $H = 2R$.
2. Пусть $O_1$ - центр верхнего основания, а $O_2$ - центр нижнего основания. Точка $A$ лежит на окружности верхнего основания, а точка $B$ - на окружности нижнего основания.
3. Проведем радиус $O_1A$ и радиус $O_2B$. Угол между ними, если их привести к общему началу (например, параллельным переносом), равен $60^\circ$.
4. Спроецируем точку $A$ на плоскость нижнего основания. Получим точку $A'$. Отрезок $AA'$ перпендикулярен плоскости нижнего основания и его длина равна высоте цилиндра, то есть $AA' = H = 2R$.
5. Точки $A'$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания. $O_2A'$ и $O_2B$ являются радиусами этого основания. Угол $A'O_2B$ равен $60^\circ$.
6. Рассмотрим треугольник $A'O_2B$. Это равнобедренный треугольник, так как $O_2A' = O_2B = R$. Поскольку угол между равными сторонами равен $60^\circ$, треугольник $A'O_2B$ является равносторонним. Следовательно, длина отрезка $A'B$ (хорды) равна радиусу $R$: $A'B = R$.
7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AA'B$. Гипотенуза этого треугольника - это отрезок $AB$. Катеты - $AA'$ и $A'B$. Длина катета $AA'$ равна $H = 2R$, а длина катета $A'B$ равна $R$.
8. Ось цилиндра проходит через центры $O_1$ и $O_2$ и параллельна отрезку $AA'$. Угол между отрезком $AB$ и осью цилиндра - это угол $\alpha$ между отрезком $AB$ и отрезком $AA'$.
9. В прямоугольном треугольнике $AA'B$ тангенс угла $\alpha$ (который лежит при вершине $A$) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{A'B}{AA'}$
10. Подставим значения $A'B = R$ и $AA' = 2R$: $\tan \alpha = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$

Ответ: $1/2$