Номер 454, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

454. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная его образующей и пересекающая поверхность конуса в точках $A$ и $B$. Длина образующей равна 10 см. Тогда длина отрезка $AB$ равна:

1) 6,5 см;

2) 8 см;

3) 5,5 см;

4) 5 см;

5) 7,5 см.

Дано:

Конус.

Длина образующей $L_g = 10$ см.

Прямая проходит через середину высоты конуса ($M$) и параллельна образующей.

Прямая пересекает поверхность конуса в точках $A$ и $B$.

Перевод в СИ:

$L_g = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

Длину отрезка $AB$.

Решение

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник $VCD$.

Пусть $V$ - вершина конуса, $O$ - центр основания, $VO$ - высота конуса $H$.

$CD$ - диаметр основания, $OD = OC = R$ - радиус основания.

$VD$ и $VC$ - образующие конуса. По условию, длина образующей $L_g = 10$ см. Следовательно, $VD = VC = 10$ см.

Точка $M$ - середина высоты $VO$. Таким образом, $VM = MO = H/2$.

Прямая $AB$ проходит через $M$ и параллельна одной из образующих, например $VD$.

Для удобства введем систему координат с началом в точке $O$. Ось $y$ направим вдоль $OV$, ось $x$ вдоль $OD$.

Координаты вершин: $V(0, H)$, $D(R, 0)$, $C(-R, 0)$, $O(0, 0)$.

Координаты точки $M$: $M(0, H/2)$.

Уравнение прямой, содержащей образующую $VD$: Угловой коэффициент $k_{VD} = \frac{H - 0}{0 - R} = -\frac{H}{R}$. Уравнение: $y - 0 = \left(-\frac{H}{R}\right)(x - R) \implies y = -\frac{H}{R} x + H$.

Поскольку прямая $AB$ параллельна $VD$, ее угловой коэффициент также равен $-\frac{H}{R}$.

Прямая $AB$ проходит через точку $M(0, H/2)$. Ее уравнение: $y - \frac{H}{2} = \left(-\frac{H}{R}\right)(x - 0) \implies y = -\frac{H}{R} x + \frac{H}{2}$.

Точки $A$ и $B$ находятся на поверхности конуса. В рамках осевого сечения, поверхность конуса представлена отрезками $VC$, $VD$ и $CD$.

Найдем координаты точки $A$. Точка $A$ - это пересечение прямой $AB$ с образующей $VC$. Уравнение прямой, содержащей образующую $VC$: Угловой коэффициент $k_{VC} = \frac{H - 0}{0 - (-R)} = \frac{H}{R}$. Уравнение: $y - 0 = \left(\frac{H}{R}\right)(x - (-R)) \implies y = \frac{H}{R} x + H$.

Приравняем уравнения прямых $AB$ и $VC$ для нахождения координат $A(x_A, y_A)$: $-\frac{H}{R} x_A + \frac{H}{2} = \frac{H}{R} x_A + H$ $2 \frac{H}{R} x_A = -\frac{H}{2}$ Поскольку $H \neq 0$, можно разделить на $H$: $\frac{2}{R} x_A = -\frac{1}{2}$ $x_A = -\frac{R}{4}$. Подставим $x_A$ в уравнение прямой $VC$: $y_A = \frac{H}{R} \left(-\frac{R}{4}\right) + H = -\frac{H}{4} + H = \frac{3H}{4}$. Итак, координаты точки $A\left(-\frac{R}{4}, \frac{3H}{4}\right)$.

Найдем координаты точки $B$. Точка $B$ - это пересечение прямой $AB$ с основанием конуса (диаметром $CD$). Уравнение прямой $CD$ (ось $x$): $y = 0$.

Подставим $y_B = 0$ в уравнение прямой $AB$: $0 = -\frac{H}{R} x_B + \frac{H}{2}$ $\frac{H}{R} x_B = \frac{H}{2}$ Поскольку $H \neq 0$, можно разделить на $H$: $\frac{1}{R} x_B = \frac{1}{2}$ $x_B = \frac{R}{2}$. Итак, координаты точки $B\left(\frac{R}{2}, 0\right)$.

Теперь вычислим длину отрезка $AB$ по формуле расстояния между двумя точками: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ $AB = \sqrt{\left(\frac{R}{2} - \left(-\frac{R}{4}\right)\right)^2 + \left(0 - \frac{3H}{4}\right)^2}$ $AB = \sqrt{\left(\frac{R}{2} + \frac{R}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3H}{4}\right)^2}$ $AB = \sqrt{\left(\frac{3R}{4}\right)^2 + \left(\frac{3H}{4}\right)^2}$ $AB = \sqrt{\frac{9R^2}{16} + \frac{9H^2}{16}}$ $AB = \sqrt{\frac{9}{16} (R^2 + H^2)}$

Мы знаем, что образующая конуса $L_g$, радиус основания $R$ и высота $H$ связаны соотношением: $L_g^2 = R^2 + H^2$.

По условию, $L_g = 10$ см.

Подставим это в формулу для $AB$: $AB = \sqrt{\frac{9}{16} L_g^2}$ $AB = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 10^2}$ $AB = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 100}$ $AB = \frac{3}{4} \cdot 10$ $AB = \frac{30}{4}$ $AB = 7.5 \text{ см}$.

Ответ:

7,5 см.