Номер 455, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

455. Высота конуса равна 20 см, а радиус его основания – 25 см. Сечение конуса, содержащее его вершину, удалено от центра основания конуса на 12 см. Площадь этого сечения равна:

1) 6 дм$^2$;

2) 10 дм$^2$;

3) 5 дм$^2$;

4) 5$\sqrt{2}$ дм$^2$;

5) 3$\sqrt{2}$ дм$^2$.

Дано:

Высота конуса $H = 20 \text{ см}$

Радиус основания конуса $R = 25 \text{ см}$

Расстояние от центра основания до сечения $d = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$H = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

$R = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$d = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S$

Решение:

Сечение конуса, содержащее его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник $VAB$, где $V$ - вершина конуса, а $AB$ - хорда окружности его основания. Пусть $O$ - центр основания конуса, а $M$ - середина хорды $AB$. Тогда отрезок $OM$ является перпендикуляром, опущенным из центра основания на хорду, и его длина равна расстоянию от центра основания до сечения, то есть $OM = d = 12 \text{ см}$. Высота треугольного сечения $VAB$ - это отрезок $VM$.

1. Найдем половину длины хорды $AB$, то есть $AM$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$ в плоскости основания. $OA$ - это радиус основания конуса ($R$), $OM$ - заданное расстояние ($d$). По теореме Пифагора:

$AM^2 = OA^2 - OM^2$

$AM^2 = R^2 - d^2$

$AM^2 = (25 \text{ см})^2 - (12 \text{ см})^2$

$AM^2 = 625 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2$

$AM^2 = 481 \text{ см}^2$

$AM = \sqrt{481} \text{ см}$

Длина хорды $AB$ равна $2 \cdot AM$: $AB = 2\sqrt{481} \text{ см}$.

2. Найдем высоту сечения $VM$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $VOM$. $VO$ - это высота конуса ($H$), $OM$ - расстояние $d$. По теореме Пифагора:

$VM^2 = VO^2 + OM^2$

$VM^2 = H^2 + d^2$

$VM^2 = (20 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2$

$VM^2 = 400 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2$

$VM^2 = 544 \text{ см}^2$

$VM = \sqrt{544} \text{ см}$

Упростим $\sqrt{544}$: $544 = 16 \cdot 34$, поэтому $VM = \sqrt{16 \cdot 34} \text{ см} = 4\sqrt{34} \text{ см}$.

3. Вычислим площадь сечения $S$.
Площадь треугольника $VAB$ равна половине произведения его основания $AB$ на высоту $VM$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM$

$S = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{481} \text{ см}) \cdot (4\sqrt{34} \text{ см})$

$S = 4\sqrt{481 \cdot 34} \text{ см}^2$

$S = 4\sqrt{16354} \text{ см}^2$

Переведем площадь в квадратные дециметры. Поскольку $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$:

$S = \frac{4\sqrt{16354}}{100} \text{ дм}^2 = \frac{\sqrt{16354}}{25} \text{ дм}^2$

Численное значение: $S \approx \frac{127.88}{25} \approx 5.115 \text{ дм}^2$.

Отметим, что полученный результат $S = \frac{\sqrt{16354}}{25} \text{ дм}^2 \approx 5.115 \text{ дм}^2$ не совпадает точно ни с одним из предложенных вариантов ответа. Если бы задача подразумевала осевое сечение (проходящее через ось конуса, для которого расстояние $d=0$ см), то площадь такого сечения составила бы $S_{осевое} = R \cdot H = 25 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 500 \text{ см}^2 = 5 \text{ дм}^2$. Этот результат (5 дм$^2$) присутствует среди вариантов ответа. Возможно, в условии задачи имеется опечатка относительно величины $d$ или типа сечения, которое имелось в виду.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{16354}}{25} \text{ дм}^2$.