Страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

453. Радиус основания равностороннего конуса равен $\sqrt{3}$ дм. Тогда площадь сечения конуса, содержащего две его образующие, угол между которыми $60^{\circ}$, равна:

1) 3 дм²;

2) $3\sqrt{3}$ дм²;

3) $2\sqrt{3}$ дм²;

4) 5 дм²;

5) $1,5\sqrt{3}$ дм².

Дано:

Радиус основания равностороннего конуса $R = \sqrt{3}$ дм.

Угол между образующими в сечении $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в систему СИ:

$R = \sqrt{3} \text{ дм} = \sqrt{3} \times 0.1 \text{ м} \approx 0.1732 \text{ м}$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

По определению, равносторонний конус – это конус, у которого образующая $l$ равна диаметру основания. Таким образом, $l = 2R$. Подставим заданное значение радиуса $R$: $l = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ дм.

Сечение конуса, содержащее две его образующие, является равнобедренным треугольником, у которого две стороны равны образующим конуса ($l$), а угол между этими сторонами равен $\alpha = 60^\circ$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $a$ и $b$ - длины двух сторон, а $C$ - угол между ними. В нашем случае, $a = l$, $b = l$, и $C = \alpha$. Следовательно, площадь сечения $S_{сеч}$ будет: $S_{сеч} = \frac{1}{2} l \cdot l \sin \alpha = \frac{1}{2} l^2 \sin \alpha$.

Теперь подставим вычисленное значение $l$ и заданный угол $\alpha$: $S_{сеч} = \frac{1}{2} (2\sqrt{3})^2 \sin 60^\circ$.

Вычислим квадрат значения образующей: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Известно, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим полученные значения в формулу для площади сечения: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. $S_{сеч} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. $S_{сеч} = 3\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ:

$3\sqrt{3}$ дм$^2$.

454. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная его образующей и пересекающая поверхность конуса в точках $A$ и $B$. Длина образующей равна 10 см. Тогда длина отрезка $AB$ равна:

1) 6,5 см;

2) 8 см;

3) 5,5 см;

4) 5 см;

5) 7,5 см.

Дано:

Конус.

Длина образующей $L_g = 10$ см.

Прямая проходит через середину высоты конуса ($M$) и параллельна образующей.

Прямая пересекает поверхность конуса в точках $A$ и $B$.

Перевод в СИ:

$L_g = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

Длину отрезка $AB$.

Решение

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник $VCD$.

Пусть $V$ - вершина конуса, $O$ - центр основания, $VO$ - высота конуса $H$.

$CD$ - диаметр основания, $OD = OC = R$ - радиус основания.

$VD$ и $VC$ - образующие конуса. По условию, длина образующей $L_g = 10$ см. Следовательно, $VD = VC = 10$ см.

Точка $M$ - середина высоты $VO$. Таким образом, $VM = MO = H/2$.

Прямая $AB$ проходит через $M$ и параллельна одной из образующих, например $VD$.

Для удобства введем систему координат с началом в точке $O$. Ось $y$ направим вдоль $OV$, ось $x$ вдоль $OD$.

Координаты вершин: $V(0, H)$, $D(R, 0)$, $C(-R, 0)$, $O(0, 0)$.

Координаты точки $M$: $M(0, H/2)$.

Уравнение прямой, содержащей образующую $VD$: Угловой коэффициент $k_{VD} = \frac{H - 0}{0 - R} = -\frac{H}{R}$. Уравнение: $y - 0 = \left(-\frac{H}{R}\right)(x - R) \implies y = -\frac{H}{R} x + H$.

Поскольку прямая $AB$ параллельна $VD$, ее угловой коэффициент также равен $-\frac{H}{R}$.

Прямая $AB$ проходит через точку $M(0, H/2)$. Ее уравнение: $y - \frac{H}{2} = \left(-\frac{H}{R}\right)(x - 0) \implies y = -\frac{H}{R} x + \frac{H}{2}$.

Точки $A$ и $B$ находятся на поверхности конуса. В рамках осевого сечения, поверхность конуса представлена отрезками $VC$, $VD$ и $CD$.

Найдем координаты точки $A$. Точка $A$ - это пересечение прямой $AB$ с образующей $VC$. Уравнение прямой, содержащей образующую $VC$: Угловой коэффициент $k_{VC} = \frac{H - 0}{0 - (-R)} = \frac{H}{R}$. Уравнение: $y - 0 = \left(\frac{H}{R}\right)(x - (-R)) \implies y = \frac{H}{R} x + H$.

Приравняем уравнения прямых $AB$ и $VC$ для нахождения координат $A(x_A, y_A)$: $-\frac{H}{R} x_A + \frac{H}{2} = \frac{H}{R} x_A + H$ $2 \frac{H}{R} x_A = -\frac{H}{2}$ Поскольку $H \neq 0$, можно разделить на $H$: $\frac{2}{R} x_A = -\frac{1}{2}$ $x_A = -\frac{R}{4}$. Подставим $x_A$ в уравнение прямой $VC$: $y_A = \frac{H}{R} \left(-\frac{R}{4}\right) + H = -\frac{H}{4} + H = \frac{3H}{4}$. Итак, координаты точки $A\left(-\frac{R}{4}, \frac{3H}{4}\right)$.

Найдем координаты точки $B$. Точка $B$ - это пересечение прямой $AB$ с основанием конуса (диаметром $CD$). Уравнение прямой $CD$ (ось $x$): $y = 0$.

Подставим $y_B = 0$ в уравнение прямой $AB$: $0 = -\frac{H}{R} x_B + \frac{H}{2}$ $\frac{H}{R} x_B = \frac{H}{2}$ Поскольку $H \neq 0$, можно разделить на $H$: $\frac{1}{R} x_B = \frac{1}{2}$ $x_B = \frac{R}{2}$. Итак, координаты точки $B\left(\frac{R}{2}, 0\right)$.

Теперь вычислим длину отрезка $AB$ по формуле расстояния между двумя точками: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ $AB = \sqrt{\left(\frac{R}{2} - \left(-\frac{R}{4}\right)\right)^2 + \left(0 - \frac{3H}{4}\right)^2}$ $AB = \sqrt{\left(\frac{R}{2} + \frac{R}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3H}{4}\right)^2}$ $AB = \sqrt{\left(\frac{3R}{4}\right)^2 + \left(\frac{3H}{4}\right)^2}$ $AB = \sqrt{\frac{9R^2}{16} + \frac{9H^2}{16}}$ $AB = \sqrt{\frac{9}{16} (R^2 + H^2)}$

Мы знаем, что образующая конуса $L_g$, радиус основания $R$ и высота $H$ связаны соотношением: $L_g^2 = R^2 + H^2$.

По условию, $L_g = 10$ см.

Подставим это в формулу для $AB$: $AB = \sqrt{\frac{9}{16} L_g^2}$ $AB = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 10^2}$ $AB = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 100}$ $AB = \frac{3}{4} \cdot 10$ $AB = \frac{30}{4}$ $AB = 7.5 \text{ см}$.

Ответ:

7,5 см.

455. Высота конуса равна 20 см, а радиус его основания – 25 см. Сечение конуса, содержащее его вершину, удалено от центра основания конуса на 12 см. Площадь этого сечения равна:

1) 6 дм$^2$;

2) 10 дм$^2$;

3) 5 дм$^2$;

4) 5$\sqrt{2}$ дм$^2$;

5) 3$\sqrt{2}$ дм$^2$.

Дано:

Высота конуса $H = 20 \text{ см}$

Радиус основания конуса $R = 25 \text{ см}$

Расстояние от центра основания до сечения $d = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$H = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

$R = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$d = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S$

Решение:

Сечение конуса, содержащее его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник $VAB$, где $V$ - вершина конуса, а $AB$ - хорда окружности его основания. Пусть $O$ - центр основания конуса, а $M$ - середина хорды $AB$. Тогда отрезок $OM$ является перпендикуляром, опущенным из центра основания на хорду, и его длина равна расстоянию от центра основания до сечения, то есть $OM = d = 12 \text{ см}$. Высота треугольного сечения $VAB$ - это отрезок $VM$.

1. Найдем половину длины хорды $AB$, то есть $AM$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$ в плоскости основания. $OA$ - это радиус основания конуса ($R$), $OM$ - заданное расстояние ($d$). По теореме Пифагора:

$AM^2 = OA^2 - OM^2$

$AM^2 = R^2 - d^2$

$AM^2 = (25 \text{ см})^2 - (12 \text{ см})^2$

$AM^2 = 625 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2$

$AM^2 = 481 \text{ см}^2$

$AM = \sqrt{481} \text{ см}$

Длина хорды $AB$ равна $2 \cdot AM$: $AB = 2\sqrt{481} \text{ см}$.

2. Найдем высоту сечения $VM$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $VOM$. $VO$ - это высота конуса ($H$), $OM$ - расстояние $d$. По теореме Пифагора:

$VM^2 = VO^2 + OM^2$

$VM^2 = H^2 + d^2$

$VM^2 = (20 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2$

$VM^2 = 400 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2$

$VM^2 = 544 \text{ см}^2$

$VM = \sqrt{544} \text{ см}$

Упростим $\sqrt{544}$: $544 = 16 \cdot 34$, поэтому $VM = \sqrt{16 \cdot 34} \text{ см} = 4\sqrt{34} \text{ см}$.

3. Вычислим площадь сечения $S$.
Площадь треугольника $VAB$ равна половине произведения его основания $AB$ на высоту $VM$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM$

$S = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{481} \text{ см}) \cdot (4\sqrt{34} \text{ см})$

$S = 4\sqrt{481 \cdot 34} \text{ см}^2$

$S = 4\sqrt{16354} \text{ см}^2$

Переведем площадь в квадратные дециметры. Поскольку $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$:

$S = \frac{4\sqrt{16354}}{100} \text{ дм}^2 = \frac{\sqrt{16354}}{25} \text{ дм}^2$

Численное значение: $S \approx \frac{127.88}{25} \approx 5.115 \text{ дм}^2$.

Отметим, что полученный результат $S = \frac{\sqrt{16354}}{25} \text{ дм}^2 \approx 5.115 \text{ дм}^2$ не совпадает точно ни с одним из предложенных вариантов ответа. Если бы задача подразумевала осевое сечение (проходящее через ось конуса, для которого расстояние $d=0$ см), то площадь такого сечения составила бы $S_{осевое} = R \cdot H = 25 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 500 \text{ см}^2 = 5 \text{ дм}^2$. Этот результат (5 дм$^2$) присутствует среди вариантов ответа. Возможно, в условии задачи имеется опечатка относительно величины $d$ или типа сечения, которое имелось в виду.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{16354}}{25} \text{ дм}^2$.

456. Площади оснований усеченного конуса $4 \text{ дм}^2$ и $16 \text{ дм}^2$. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основанию. Тогда площадь сечения равна:

1) $8 \text{ дм}^2$;

2) $10 \text{ дм}^2$;

3) $6 \text{ дм}^2$;

4) $9 \text{ дм}^2$;

5) $7 \text{ дм}^2$.

Дано

Площадь первого основания усеченного конуса $S_1 = 16 \text{ дм}^2$.
Площадь второго основания усеченного конуса $S_2 = 4 \text{ дм}^2$.
Сечение проведено через середину высоты параллельно основаниям.

Перевод в СИ

Данные представлены в квадратных дециметрах, что является допустимой единицей измерения площади. Для справки, перевод в систему СИ (квадратные метры):
$S_1 = 16 \text{ дм}^2 = 16 \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 16 \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 0.16 \text{ м}^2$.
$S_2 = 4 \text{ дм}^2 = 4 \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 4 \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 0.04 \text{ м}^2$.
Для удобства дальнейших расчетов продолжим использовать квадратные дециметры, так как единицы измерения в задаче однородны.

Найти

Площадь сечения $S_{mid}$.

Решение

Усеченный конус образуется путем отсечения меньшего конуса от большего конуса плоскостью, параллельной основанию. Если через середину высоты усеченного конуса провести сечение, параллельное его основаниям, то радиус этого сечения будет равен среднему арифметическому радиусов оснований.

Обозначим радиус нижнего основания $R_1$, радиус верхнего основания $R_2$, а радиус искомого сечения $R_{mid}$.

Площадь круга выражается формулой $S = \pi R^2$.
Известные площади оснований позволяют найти их радиусы:
$S_1 = \pi R_1^2 \implies R_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}}$
$S_2 = \pi R_2^2 \implies R_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$

Согласно свойству усеченного конуса, радиус сечения, проходящего через середину высоты параллельно основаниям, равен среднему арифметическому радиусов оснований:
$R_{mid} = \frac{R_1 + R_2}{2}$

Подставим выражения для $R_1$ и $R_2$ в формулу для $R_{mid}$:
$R_{mid} = \frac{\sqrt{\frac{S_1}{\pi}} + \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{\pi}} + \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{\pi}}}{2} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2\sqrt{\pi}}$

Теперь найдем площадь этого сечения $S_{mid}$ по формуле площади круга:
$S_{mid} = \pi R_{mid}^2$

Подставим найденное выражение для $R_{mid}$ в формулу площади сечения:
$S_{mid} = \pi \left(\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2\sqrt{\pi}}\right)^2$
$S_{mid} = \pi \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{(2\sqrt{\pi})^2} = \pi \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4\pi}$
$S_{mid} = \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4}$

Подставим численные значения площадей оснований $S_1 = 16 \text{ дм}^2$ и $S_2 = 4 \text{ дм}^2$:
$\sqrt{S_1} = \sqrt{16} = 4 \text{ дм}$
$\sqrt{S_2} = \sqrt{4} = 2 \text{ дм}$

$S_{mid} = \frac{(4 + 2)^2}{4} = \frac{6^2}{4} = \frac{36}{4} = 9 \text{ дм}^2$

Ответ:

$9 \text{ дм}^2$

457. На поверхности шара радиуса 13 см даны три точки, расстояния между которыми равны 6 см, 8 см, 10 см. Тогда расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки, равно:

1) 10 см;

2) 12 см;

3) 6 см;

4) 8 см;

5) 7 см.

Дано

Радиус шара: $R = 13$ см.

Стороны треугольника, образованного тремя точками на поверхности шара: $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 10$ см.

Перевод в СИ

$R = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$c = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти

Расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки: $h$

Решение

Пусть три данные точки на поверхности шара образуют треугольник со сторонами $a=6$ см, $b=8$ см, $c=10$ см. Эти точки лежат в одной плоскости, которая пересекает шар по кругу.

Первым шагом определим тип треугольника по длинам его сторон. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c^2 = 10^2 = 100$

Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным. Гипотенуза треугольника равна $c = 10$ см.

Три точки на поверхности шара, образующие этот треугольник, также лежат на окружности, которая является сечением шара данной плоскостью. Эта окружность является описанной окружностью для данного треугольника.

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности $r$ равен половине гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Расстояние $h$ от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки (и, следовательно, до центра окружности сечения), радиус шара $R$ и радиус окружности сечения $r$ связаны теоремой Пифагора. Центр шара, центр окружности сечения и любая точка на окружности сечения образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой, а $r$ и $h$ — катетами.

$R^2 = r^2 + h^2$

Подставим известные значения: $R = 13$ см, $r = 5$ см.

$13^2 = 5^2 + h^2$

$169 = 25 + h^2$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144}$

$h = 12$ см.

Ответ:

Расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки, равно $12$ см.

458. Шар радиуса 3 дм касается всех сторон правильного треугольника со стороной 6 дм. Тогда расстояние от центра шара до плоскости этого треугольника равно:

1) 2,5 дм;

2) 3 дм;

3) $\sqrt{6}$ дм;

4) $2\sqrt{2}$ дм;

5) $\sqrt{5}$ дм.

Дано

Радиус шара: $R = 3 \text{ дм}$

Сторона правильного треугольника: $a = 6 \text{ дм}$

Перевод в СИ

$R = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

$a = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от центра шара до плоскости треугольника: $H$

Решение

Поскольку шар касается всех сторон правильного треугольника, его центр проецируется в центр вписанной окружности этого треугольника. Для правильного треугольника центр вписанной окружности, центр описанной окружности и центроид совпадают.

Радиус $r$ вписанной окружности в правильный треугольник со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 6 \text{ дм}$:

$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ дм}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром шара $O$, проекцией центра шара на плоскость треугольника $I$ (центр вписанной окружности) и точкой касания шара со стороной треугольника $P$.

Катет $OI$ - это искомое расстояние $H$ от центра шара до плоскости треугольника.

Катет $IP$ - это радиус вписанной окружности треугольника $r$, поскольку точка $P$ лежит на стороне треугольника и является точкой касания вписанной окружности.

Гипотенуза $OP$ - это радиус шара $R$, так как $P$ является точкой касания шара со стороной (плоскостью, содержащей сторону), и отрезок от центра шара до точки касания перпендикулярен этой плоскости и равен радиусу шара.

Применяем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $OIP$:

$H^2 + r^2 = R^2$

Выразим $H$:

$H = \sqrt{R^2 - r^2}$

Подставим известные значения $R = 3 \text{ дм}$ и $r = \sqrt{3} \text{ дм}$:

$H = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2}$

$H = \sqrt{9 - 3}$

$H = \sqrt{6} \text{ дм}$

Ответ:

Расстояние от центра шара до плоскости этого треугольника равно $\sqrt{6} \text{ дм}$.