Номер 456, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

456. Площади оснований усеченного конуса $4 \text{ дм}^2$ и $16 \text{ дм}^2$. Через середину его высоты проведено сечение, параллельное основанию. Тогда площадь сечения равна:

1) $8 \text{ дм}^2$;

2) $10 \text{ дм}^2$;

3) $6 \text{ дм}^2$;

4) $9 \text{ дм}^2$;

5) $7 \text{ дм}^2$.

Дано

Площадь первого основания усеченного конуса $S_1 = 16 \text{ дм}^2$.
Площадь второго основания усеченного конуса $S_2 = 4 \text{ дм}^2$.
Сечение проведено через середину высоты параллельно основаниям.

Перевод в СИ

Данные представлены в квадратных дециметрах, что является допустимой единицей измерения площади. Для справки, перевод в систему СИ (квадратные метры):
$S_1 = 16 \text{ дм}^2 = 16 \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 16 \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 0.16 \text{ м}^2$.
$S_2 = 4 \text{ дм}^2 = 4 \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 4 \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 0.04 \text{ м}^2$.
Для удобства дальнейших расчетов продолжим использовать квадратные дециметры, так как единицы измерения в задаче однородны.

Найти

Площадь сечения $S_{mid}$.

Решение

Усеченный конус образуется путем отсечения меньшего конуса от большего конуса плоскостью, параллельной основанию. Если через середину высоты усеченного конуса провести сечение, параллельное его основаниям, то радиус этого сечения будет равен среднему арифметическому радиусов оснований.

Обозначим радиус нижнего основания $R_1$, радиус верхнего основания $R_2$, а радиус искомого сечения $R_{mid}$.

Площадь круга выражается формулой $S = \pi R^2$.
Известные площади оснований позволяют найти их радиусы:
$S_1 = \pi R_1^2 \implies R_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}}$
$S_2 = \pi R_2^2 \implies R_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$

Согласно свойству усеченного конуса, радиус сечения, проходящего через середину высоты параллельно основаниям, равен среднему арифметическому радиусов оснований:
$R_{mid} = \frac{R_1 + R_2}{2}$

Подставим выражения для $R_1$ и $R_2$ в формулу для $R_{mid}$:
$R_{mid} = \frac{\sqrt{\frac{S_1}{\pi}} + \sqrt{\frac{S_2}{\pi}}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{\pi}} + \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{\pi}}}{2} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2\sqrt{\pi}}$

Теперь найдем площадь этого сечения $S_{mid}$ по формуле площади круга:
$S_{mid} = \pi R_{mid}^2$

Подставим найденное выражение для $R_{mid}$ в формулу площади сечения:
$S_{mid} = \pi \left(\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2\sqrt{\pi}}\right)^2$
$S_{mid} = \pi \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{(2\sqrt{\pi})^2} = \pi \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4\pi}$
$S_{mid} = \frac{(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2}{4}$

Подставим численные значения площадей оснований $S_1 = 16 \text{ дм}^2$ и $S_2 = 4 \text{ дм}^2$:
$\sqrt{S_1} = \sqrt{16} = 4 \text{ дм}$
$\sqrt{S_2} = \sqrt{4} = 2 \text{ дм}$

$S_{mid} = \frac{(4 + 2)^2}{4} = \frac{6^2}{4} = \frac{36}{4} = 9 \text{ дм}^2$

Ответ:

$9 \text{ дм}^2$