Номер 463, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Тела вращения и их элементы». III. Тела вращения и их элементы - номер 463, страница 137.

Условие.

463. Около усеченного конуса, радиусы оснований которого 2 дм и 1 дм, а образующая наклонена к основанию под углом $45^{\circ}$, описана сфера.

Тогда радиус этой сферы равен:

1) $\sqrt{5}$ дм; 4) $2\sqrt{2}$ дм;

2) $2\sqrt{5}$ дм; 5) 5 дм.

3) $\sqrt{10}$ дм;

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Радиус нижнего основания усеченного конуса $R = 2$ дм.

Радиус верхнего основания усеченного конуса $r = 1$ дм.

Угол наклона образующей к основанию $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в систему СИ:

Радиус нижнего основания $R = 2$ дм $= 0.2$ м.

Радиус верхнего основания $r = 1$ дм $= 0.1$ м.

Угол наклона образующей к основанию $\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ рад.

Найти:

Радиус описанной сферы $S_R$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, вписанную в окружность. Радиус этой окружности равен радиусу описанной сферы $S_R$.

Сначала найдем высоту усеченного конуса $h$. Высота, образующая и разность радиусов образуют прямоугольный треугольник. Горизонтальный катет этого треугольника равен $R - r$.

Используем свойство прямого угла, зная, что угол наклона образующей к основанию равен $45^\circ$:

$h = (R - r) \cdot \tan \alpha$

Подставим известные значения:

$h = (2 - 1) \cdot \tan 45^\circ = 1 \cdot 1 = 1$ дм.

Теперь найдем радиус описанной сферы $S_R$. Центр описанной сферы лежит на оси конуса. Пусть ось конуса совпадает с осью $Oz$, а плоскость нижнего основания совпадает с плоскостью $Oxy$.

Координаты центра нижнего основания $(0, 0, 0)$. Точка на окружности нижнего основания, лежащая в плоскости $Oxz$: $(R, 0, 0)$.

Координаты центра верхнего основания $(0, 0, h)$. Точка на окружности верхнего основания, лежащая в плоскости $Oxz$: $(r, 0, h)$.

Пусть центр описанной сферы имеет координаты $(0, 0, z_0)$. Расстояние от центра сферы до любой точки на поверхности сферы равно радиусу сферы $S_R$. Воспользуемся точками на окружностях оснований конуса.

Расстояние от центра сферы $(0, 0, z_0)$ до точки на нижнем основании $(R, 0, 0)$ равно $S_R$:

$S_R^2 = (R - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2 + z_0^2$

Расстояние от центра сферы $(0, 0, z_0)$ до точки на верхнем основании $(r, 0, h)$ равно $S_R$:

$S_R^2 = (r - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (h - z_0)^2 = r^2 + (h - z_0)^2$

Приравняем правые части двух уравнений для $S_R^2$:

$R^2 + z_0^2 = r^2 + (h - z_0)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$R^2 + z_0^2 = r^2 + h^2 - 2hz_0 + z_0^2$

Сократим $z_0^2$ с обеих сторон уравнения:

$R^2 = r^2 + h^2 - 2hz_0$

Выразим $z_0$ из этого уравнения:

$2hz_0 = r^2 + h^2 - R^2$

$z_0 = \frac{r^2 + h^2 - R^2}{2h}$

Подставим найденные значения $R = 2$ дм, $r = 1$ дм, $h = 1$ дм:

$z_0 = \frac{1^2 + 1^2 - 2^2}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 1 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ дм.

Отрицательное значение $z_0$ означает, что центр сферы находится ниже плоскости нижнего основания конуса (при выбранной системе координат).

Теперь подставим значение $z_0$ в первое уравнение для $S_R^2$:

$S_R^2 = R^2 + z_0^2$

$S_R^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$

Таким образом, радиус сферы:

$S_R = \sqrt{5}$ дм.

Ответ:

Радиус описанной сферы равен $\sqrt{5}$ дм.