Номер 466, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

466. Найдите площадь боковой поверхности конуса, у которого образующая равна $6\sqrt{3}$ см и наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$.

Дано:

образующая конуса $l = 6\sqrt{3}$ см

угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

Длина образующей $l = 6\sqrt{3}$ см $= 0.06\sqrt{3}$ м. (Для удобства расчетов и сохранения точности можно оставить в сантиметрах до финального ответа)

Угол $\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ радиан.

Найти:

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, $l$ – длина образующей конуса.

Из условия задачи нам известна длина образующей $l = 6\sqrt{3}$ см и угол $\alpha = 60^\circ$, под которым образующая наклонена к плоскости основания. Образующая, радиус основания и высота конуса образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, радиус основания $r$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$.

Следовательно, радиус основания можно найти, используя косинус угла $\alpha$:

$r = l \cos(\alpha)$

Подставляем известные значения:

$r = 6\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ)$

Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$r = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$

$r = 3\sqrt{3}$ см

Теперь, когда у нас есть и радиус основания $r$, и длина образующей $l$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l$

$S_{бок} = \pi \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3})$

$S_{бок} = \pi \cdot (3 \cdot 6) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$S_{бок} = \pi \cdot 18 \cdot 3$

$S_{бок} = 54\pi$ см$^2$

Ответ: $54\pi$ см$^2$