Номер 459, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

459. Диагонали ромба равны 15 см и 20 см. Сфера касается всех сторон ромба. Если расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно 8 см, то радиус сферы равен:

1) 10 см;

2) $8\sqrt{2}$ см;

3) 8,75 см;

4) 9 см;

5) 12 см.

Дано:

Диагонали ромба: $d_1 = 15$ см, $d_2 = 20$ см.

Расстояние от центра сферы до плоскости ромба: $h = 8$ см.

Перевод в СИ:

$d_1 = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$d_2 = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы: $R$

Решение:

Сфера касается всех сторон ромба. Это означает, что проекция центра сферы на плоскость ромба совпадает с центром вписанной в ромб окружности. Расстояние от центра сферы до любой из сторон ромба равно радиусу сферы $R$. Расстояние от проекции центра сферы (то есть центра вписанной окружности ромба) до стороны ромба равно радиусу вписанной окружности $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы, его проекцией на плоскость ромба и точкой касания сферы со стороной ромба. Катеты этого треугольника — расстояние от центра сферы до плоскости ромба $h$ и радиус вписанной в ромб окружности $r$. Гипотенуза — радиус сферы $R$. По теореме Пифагора имеем: $R^2 = h^2 + r^2$.

1. Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Его катеты равны $d_1/2$ и $d_2/2$, а гипотенуза — сторона ромба $a$.

$d_1/2 = 15 \text{ см} / 2 = 7.5 \text{ см}$

$d_2/2 = 20 \text{ см} / 2 = 10 \text{ см}$

По теореме Пифагора:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$a^2 = (7.5)^2 + (10)^2$

$a^2 = 56.25 + 100$

$a^2 = 156.25$

$a = \sqrt{156.25} = 12.5 \text{ см}$

2. Найдем площадь ромба $S$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 150 \text{ см}^2$

3. Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Площадь ромба также может быть выражена как произведение стороны ромба на его высоту $h_{ромба}$. Высота ромба в два раза больше радиуса вписанной окружности ($h_{ромба} = 2r$).

$S = a \cdot h_{ромба} = a \cdot (2r)$

Отсюда радиус вписанной окружности $r$ равен:

$r = \frac{S}{2a}$

$r = \frac{150 \text{ см}^2}{2 \cdot 12.5 \text{ см}} = \frac{150 \text{ см}^2}{25 \text{ см}} = 6 \text{ см}$

4. Теперь используем теорему Пифагора для нахождения радиуса сферы $R$:

$R^2 = h^2 + r^2$

$R^2 = (8 \text{ см})^2 + (6 \text{ см})^2$

$R^2 = 64 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2$

$R^2 = 100 \text{ см}^2$

$R = \sqrt{100 \text{ см}^2} = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.