Номер 457, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

457. На поверхности шара радиуса 13 см даны три точки, расстояния между которыми равны 6 см, 8 см, 10 см. Тогда расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки, равно:

1) 10 см;

2) 12 см;

3) 6 см;

4) 8 см;

5) 7 см.

Дано

Радиус шара: $R = 13$ см.

Стороны треугольника, образованного тремя точками на поверхности шара: $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 10$ см.

Перевод в СИ

$R = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$c = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти

Расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки: $h$

Решение

Пусть три данные точки на поверхности шара образуют треугольник со сторонами $a=6$ см, $b=8$ см, $c=10$ см. Эти точки лежат в одной плоскости, которая пересекает шар по кругу.

Первым шагом определим тип треугольника по длинам его сторон. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c^2 = 10^2 = 100$

Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным. Гипотенуза треугольника равна $c = 10$ см.

Три точки на поверхности шара, образующие этот треугольник, также лежат на окружности, которая является сечением шара данной плоскостью. Эта окружность является описанной окружностью для данного треугольника.

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности $r$ равен половине гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Расстояние $h$ от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки (и, следовательно, до центра окружности сечения), радиус шара $R$ и радиус окружности сечения $r$ связаны теоремой Пифагора. Центр шара, центр окружности сечения и любая точка на окружности сечения образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой, а $r$ и $h$ — катетами.

$R^2 = r^2 + h^2$

Подставим известные значения: $R = 13$ см, $r = 5$ см.

$13^2 = 5^2 + h^2$

$169 = 25 + h^2$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144}$

$h = 12$ см.

Ответ:

Расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки, равно $12$ см.