Номер 462, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

462. В равносторонний конус вписана правильная шестиугольная пирамида. Ее двугранный угол при ребре основания равен:

1) $\text{arcctg } 2$;

2) $\arcsin 0.5$;

3) $\arccos 0.5$;

4) $\text{arcctg } 2$;

5) $\text{arcctg } 3$.

Дано

Равносторонний конус.
В конус вписана правильная шестиугольная пирамида.

Найти:

Двугранный угол при ребре основания пирамиды.

Решение

1. Пусть $R$ – радиус основания конуса, $H$ – его высота, $L$ – образующая конуса.

2. Так как конус равносторонний, это означает, что его осевое сечение является равносторонним треугольником. Следовательно, образующая конуса $L$ равна диаметру его основания, то есть $L = 2R$.

3. Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ связаны соотношением Пифагора: $H^2 + R^2 = L^2$.
Подставим $L = 2R$ в это уравнение: $H^2 + R^2 = (2R)^2$.
$H^2 + R^2 = 4R^2$.
Отсюда $H^2 = 3R^2$, следовательно, $H = R\sqrt{3}$.

4. Правильная шестиугольная пирамида вписана в конус. Это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а вершины основания шестиугольной пирамиды лежат на окружности основания конуса.
Следовательно, радиус окружности, описанной вокруг основания шестиугольной пирамиды, равен $R$.
Для правильного шестиугольника сторона $a$ равна радиусу описанной вокруг него окружности. Поэтому сторона основания пирамиды $a = R$.

5. Двугранный угол при ребре основания пирамиды – это угол между боковой гранью и основанием пирамиды. Чтобы его найти, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и апофему основания, перпендикулярную одному из рёбер основания.
Пусть $O$ – центр основания пирамиды (и конуса), $S$ – вершина пирамиды (и конуса).
Пусть $M$ – середина одной из сторон основания (ребра основания) $AB$. Тогда $OM$ – апофема основания правильного шестиугольника, а $SM$ – апофема боковой грани пирамиды. Треугольник $SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

6. Высота пирамиды $SO = H = R\sqrt{3}$.

7. Апофема правильного шестиугольника $OM$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $r_h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Так как сторона шестиугольника $a = R$, то $OM = R \frac{\sqrt{3}}{2}$.

8. Двугранный угол при ребре основания равен углу $\angle SMO$. Обозначим этот угол как $\alpha$.
В прямоугольном треугольнике $SOM$ тангенс угла $\alpha$ равен отношению длины противолежащего катета ($SO$) к длине прилежащего катета ($OM$).
$\tan \alpha = \frac{SO}{OM}$.

9. Подставим найденные значения $SO$ и $OM$:
$\tan \alpha = \frac{R\sqrt{3}}{R\frac{\sqrt{3}}{2}}$.
Сократим $R\sqrt{3}$:
$\tan \alpha = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

10. Таким образом, $\tan \alpha = 2$.
Следовательно, искомый двугранный угол $\alpha = \arctan 2$.

Ответ:

4) arctg 2