Номер 465, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

465. Хорда нижнего основания цилиндра, равная 6 дм, удалена от его центра на расстояние 4 дм, а от центра верхнего основания – на 5 дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Дано:

$L = 6 \text{ дм}$

$d_1 = 4 \text{ дм}$

$d_2 = 5 \text{ дм}$

Переведем данные в систему СИ:

$L = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$d_1 = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

$d_2 = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$S_{полн} - ?$

Решение:

Обозначим радиус основания цилиндра через $R$, а его высоту через $H$.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Хорда длиной $L$ в окружности радиуса $R$ удалена от центра на расстояние $d_1$. Половина хорды ($L/2$), расстояние от центра до хорды ($d_1$) и радиус окружности ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. Таким образом, по теореме Пифагора:

$R^2 = (L/2)^2 + d_1^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = (0.6 \text{ м} / 2)^2 + (0.4 \text{ м})^2$

$R^2 = (0.3 \text{ м})^2 + (0.4 \text{ м})^2$

$R^2 = 0.09 \text{ м}^2 + 0.16 \text{ м}^2$

$R^2 = 0.25 \text{ м}^2$

$R = \sqrt{0.25 \text{ м}^2} = 0.5 \text{ м}$

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром нижнего основания, серединой хорды, и центром верхнего основания. В этом треугольнике высота цилиндра $H$ является одним из катетов, расстояние от центра нижнего основания до хорды $d_1$ — другим катетом, а расстояние от центра верхнего основания до хорды $d_2$ — гипотенузой. Таким образом, по теореме Пифагора:

$d_2^2 = d_1^2 + H^2$

Выразим высоту $H$:

$H^2 = d_2^2 - d_1^2$

Подставим известные значения:

$H^2 = (0.5 \text{ м})^2 - (0.4 \text{ м})^2$

$H^2 = 0.25 \text{ м}^2 - 0.16 \text{ м}^2$

$H^2 = 0.09 \text{ м}^2$

$H = \sqrt{0.09 \text{ м}^2} = 0.3 \text{ м}$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH$

Эту формулу можно переписать как:

$S_{полн} = 2\pi R(R + H)$

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$S_{полн} = 2\pi (0.5 \text{ м}) (0.5 \text{ м} + 0.3 \text{ м})$

$S_{полн} = 2\pi (0.5 \text{ м}) (0.8 \text{ м})$

$S_{полн} = \pi (1.0 \text{ м}) (0.8 \text{ м})$

$S_{полн} = 0.8\pi \text{ м}^2$

Ответ:

$0.8\pi \text{ м}^2$