Номер 470, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

470. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1 : 3, его высота равна 8см, а образующая наклонена к нижнему основанию под углом 45°. Найдите площадь полной поверхности этого усеченного конуса.

Дано:

Отношение радиусов оснований усеченного конуса: $r_1 : r_2 = 1 : 3$

Высота усеченного конуса: $H = 8 \text{ см}$

Угол наклона образующей к нижнему основанию: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$H = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности усеченного конуса: $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности усеченного конуса состоит из площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

где $S_{осн1} = \pi r_1^2$, $S_{осн2} = \pi r_2^2$, и $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L$, где $L$ - длина образующей.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Если из вершины меньшего радиуса опустить перпендикуляр на большее основание, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

Катет, равный высоте, составляет $H$.

Катет, лежащий на нижнем основании, равен разности радиусов $r_2 - r_1$.

Гипотенуза равна образующей $L$.

Угол между образующей $L$ и катетом $(r_2 - r_1)$ равен $\alpha = 45^\circ$.

Из прямоугольного треугольника, используя тангенс угла $\alpha$:

$\tan \alpha = \frac{H}{r_2 - r_1}$

Подставим известные значения: $\tan 45^\circ = 1$, $H = 0.08 \text{ м}$

$1 = \frac{0.08}{r_2 - r_1}$

Отсюда, $r_2 - r_1 = 0.08 \text{ м}$.

Нам дано отношение радиусов $r_1 : r_2 = 1 : 3$, то есть $r_2 = 3r_1$.

Подставим это в уравнение для разности радиусов:

$3r_1 - r_1 = 0.08$

$2r_1 = 0.08$

$r_1 = 0.04 \text{ м}$

Теперь найдем $r_2$:

$r_2 = 3 \times 0.04 = 0.12 \text{ м}$

Далее найдем длину образующей $L$. Используем синус угла $\alpha$:

$\sin \alpha = \frac{H}{L}$

Подставим известные значения: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $H = 0.08 \text{ м}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{0.08}{L}$

$L = \frac{0.08 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{0.16}{\sqrt{2}} = \frac{0.16\sqrt{2}}{2} = 0.08\sqrt{2} \text{ м}$

Теперь рассчитаем площади:

Площадь нижнего основания ($r_2 = 0.12 \text{ м}$):

$S_{осн2} = \pi r_2^2 = \pi (0.12)^2 = 0.0144\pi \text{ м}^2$

Площадь верхнего основания ($r_1 = 0.04 \text{ м}$):

$S_{осн1} = \pi r_1^2 = \pi (0.04)^2 = 0.0016\pi \text{ м}^2$

Площадь боковой поверхности ($r_1 = 0.04 \text{ м}$, $r_2 = 0.12 \text{ м}$, $L = 0.08\sqrt{2} \text{ м}$):

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L = \pi (0.04 + 0.12) (0.08\sqrt{2})$

$S_{бок} = \pi (0.16) (0.08\sqrt{2}) = 0.0128\pi\sqrt{2} \text{ м}^2$

Площадь полной поверхности усеченного конуса:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

$S_{полн} = 0.0016\pi + 0.0144\pi + 0.0128\pi\sqrt{2}$

$S_{полн} = 0.0160\pi + 0.0128\pi\sqrt{2}$

$S_{полн} = \pi (0.0160 + 0.0128\sqrt{2}) \text{ м}^2$

Для удобства можно перевести ответ обратно в см$^2$, так как исходные данные были в см ($1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$):

$S_{полн} = \pi (0.0160 + 0.0128\sqrt{2}) \times 10000 \text{ см}^2$

$S_{полн} = \pi (160 + 128\sqrt{2}) \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна $\pi (160 + 128\sqrt{2}) \text{ см}^2$.