Вопросы?, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте основные свойства объемов тел.

2. Назовите основные единицы измерения объема и укажите соотношения между ними.

3. Запишите формулу объема: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) призмы.

1. Сформулируйте основные свойства объемов тел.

Объем — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом. Основные свойства объемов геометрических тел (иногда их называют аксиомами объема) следующие:
- Неотрицательность: Объем любого геометрического тела является неотрицательным числом. $V \ge 0$.
- Инвариантность: Равные (конгруэнтные) тела имеют равные объемы. Это означает, что если тело перемещать или поворачивать в пространстве как единое целое, его объем не изменится.
- Аддитивность: Если тело составлено из нескольких тел, которые не имеют общих внутренних точек (то есть они могут пересекаться только по своим границам), то его объем равен сумме объемов этих тел. Например, для двух таких тел $T_1$ и $T_2$, объем их объединения $V(T_1 \cup T_2) = V(T_1) + V(T_2)$.
- Нормированность (единица измерения): Объем куба, ребро которого равно единице длины, принимается за единицу. Такой куб называется единичным, а его объем равен 1 кубической единице.
Ответ: Основные свойства объемов: 1) объем — неотрицательная величина; 2) равные тела имеют равные объемы; 3) объем тела, составленного из нескольких тел без общих внутренних точек, равен сумме их объемов (свойство аддитивности); 4) объем единичного куба равен единице.

2. Назовите основные единицы измерения объема и укажите соотношения между ними.

Основной единицей измерения объема в Международной системе единиц (СИ) является кубический метр ($м^3$). Это объем, который занимает куб с длиной ребра 1 метр.
Часто используются и другие, производные от него, единицы:
- Кубический дециметр ($дм^3$). Поскольку 1 м = 10 дм, то $1 м^3 = 10^3 дм^3 = 1000 дм^3$.
- Кубический сантиметр ($см^3$). Поскольку 1 дм = 10 см, то $1 дм^3 = 10^3 см^3 = 1000 см^3$. Соответственно, $1 м^3 = 100^3 см^3 = 1 000 000 см^3$.
- Кубический миллиметр ($мм^3$). Поскольку 1 см = 10 мм, то $1 см^3 = 10^3 мм^3 = 1000 мм^3$.
Также широко применяются внесистемные единицы, тесно связанные с метрическими:
- Литр (л). По определению, 1 литр равен 1 кубическому дециметру: $1 л = 1 дм^3$.
- Миллилитр (мл). Это одна тысячная доля литра: $1 л = 1000 мл$. Из этого следует, что $1 мл = 1 см^3$.
Ответ: Основная единица измерения объема — кубический метр ($м^3$). Другие единицы: кубический сантиметр ($см^3$), кубический дециметр ($дм^3$), литр (л). Соотношения: $1 м^3 = 1000 дм^3 = 1 000 000 см^3$; $1 л = 1 дм^3$; $1 мл = 1 см^3$.

3. Запишите формулу объема: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) призмы.

а) куба: Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Если длина ребра куба равна $a$, то его объем $V$ вычисляется как произведение трех равных ребер:
$V = a \cdot a \cdot a = a^3$.
б) прямоугольного параллелепипеда: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений — длины, ширины и высоты. Если его измерения равны $a, b$ и $c$, то объем $V$ равен:
$V = a \cdot b \cdot c$.
в) призмы: Объем любой призмы (как прямой, так и наклонной) равен произведению площади ее основания $S_{осн}$ на высоту $h$. Высота призмы — это перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к плоскости другого основания.
$V = S_{осн} \cdot h$.
Ответ: а) формула объема куба: $V = a^3$; б) формула объема прямоугольного параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c$; в) формула объема призмы: $V = S_{осн} \cdot h$.