Номер 478, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

478. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 5 см, а угол между ними $45^\circ$. Найдите объем параллелепипеда, если площадь его боковой поверхности равна $54\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Дано:

Стороны основания: $a = 4 \text{ см}$, $b = 5 \text{ см}$
Угол между сторонами основания: $\alpha = 45^\circ$
Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = 54\sqrt{2} \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$b = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$\alpha = 45^\circ$
$S_{\text{бок}} = 54\sqrt{2} \text{ см}^2 = 54\sqrt{2} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Объем параллелепипеда: $V$

Решение:

1. Найдем площадь основания параллелепипеда. Основание прямого параллелепипеда является параллелограммом. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S_{\text{осн}} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.
Подставим известные значения:
$S_{\text{осн}} = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot \sin(45^\circ)$
$S_{\text{осн}} = 20 \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S_{\text{осн}} = 10\sqrt{2} \text{ см}^2$

2. Найдем периметр основания параллелепипеда. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P_{\text{осн}} = 2(a+b)$.
$P_{\text{осн}} = 2(4 \text{ см} + 5 \text{ см})$
$P_{\text{осн}} = 2 \cdot 9 \text{ см}$
$P_{\text{осн}} = 18 \text{ см}$

3. Найдем высоту параллелепипеда. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$.
Из этой формулы выразим высоту $h$: $h = \frac{S_{\text{бок}}}{P_{\text{осн}}}$.
Подставим известные значения:
$h = \frac{54\sqrt{2} \text{ см}^2}{18 \text{ см}}$
$h = 3\sqrt{2} \text{ см}$

4. Найдем объем параллелепипеда. Объем любого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$.
Подставим найденные значения площади основания и высоты:
$V = (10\sqrt{2} \text{ см}^2) \cdot (3\sqrt{2} \text{ см})$
$V = 10 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \text{ см}^3$
$V = 30 \cdot 2 \text{ см}^3$
$V = 60 \text{ см}^3$

Ответ:

$V = 60 \text{ см}^3$