Номер 482, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

482. Основание прямого параллелепипеда – ромб, меньшая диагональ которого $4 \text{ см}$, а острый угол $60^\circ$. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна $80\sqrt{3} \text{ см}^2$. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Основание прямого параллелепипеда – ромб.

Меньшая диагональ ромба ($d_1$) = 4 см.

Острый угол ромба ($\alpha$) = $60^\circ$.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда ($S_{бок}$) = $80\sqrt{3}$ см$^2$.

Параллелепипед прямой.

Перевод в СИ:

$d_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

$S_{бок} = 80\sqrt{3} \text{ см}^2 = 80\sqrt{3} \cdot (10^{-2})^2 \text{ м}^2 = 80\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Объем параллелепипеда ($V$)

Решение:

1. Найдем сторону ромба ($a$). Меньшая диагональ ромба ($d_1$) лежит напротив тупого угла ромба. Если острый угол ромба равен $60^\circ$, то тупой угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. Этот треугольник равнобедренный с двумя сторонами, равными стороне ромба $a$, и углом $120^\circ$ между ними. По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$ $4^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ $16 = 2a^2 + a^2$ $16 = 3a^2$ $a^2 = \frac{16}{3}$ $a = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Найдем площадь основания параллелепипеда ($S_{осн}$). Основание - ромб, его площадь можно найти по формуле: $S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ - сторона ромба, $\alpha$ - острый угол. $S_{осн} = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot \sin(60^\circ)$ $S_{осн} = \left(\frac{16 \cdot 3}{9}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S_{осн} = \frac{16}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S_{осн} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

3. Найдем высоту параллелепипеда ($H$). Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$. Периметр ромба $P_{осн} = 4a$. $P_{осн} = 4 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см. Известно, что $S_{бок} = 80\sqrt{3}$ см$^2$. $80\sqrt{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot H$ $H = \frac{80\sqrt{3}}{\frac{16\sqrt{3}}{3}}$ $H = \frac{80\sqrt{3} \cdot 3}{16\sqrt{3}}$ $H = \frac{80 \cdot 3}{16}$ $H = 5 \cdot 3$ $H = 15$ см.

4. Найдем объем параллелепипеда ($V$). Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot H$. $V = \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot 15$ $V = 8\sqrt{3} \cdot 5$ $V = 40\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ:

Объем параллелепипеда равен $40\sqrt{3}$ см$^3$.