Номер 486, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

486. a) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины, равны 6 см и 8 см, а угол между ними $60^\circ$.

б) Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, периметр основания которого равен 16 см, площадь поверхности равна $168 \text{ см}^2$, а объем равен $108 \text{ см}^3$.

a) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины, равны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с измерениями $a, b, c$.

Диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины: $d_1 = 6 \text{ см}$, $d_2 = 8 \text{ см}$.

Угол между диагоналями: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$d_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$d_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Объем $V$

Решение:

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда будут $a, b, c$. Рассмотрим вершину, из которой выходят три ребра длиной $a, b, c$. Диагонали боковых граней, выходящие из этой вершины, будут иметь длины $\sqrt{a^2 + c^2}$ и $\sqrt{b^2 + c^2}$ (при условии, что $c$ - высота). Третья сторона треугольника, образованного этими двумя диагоналями, является диагональю основания, имеющей длину $\sqrt{a^2 + b^2}$.

По условию, $d_1 = \sqrt{a^2 + c^2} = 6$ и $d_2 = \sqrt{b^2 + c^2} = 8$.

Применим теорему косинусов для треугольника, образованного диагоналями $d_1$, $d_2$ и диагональю основания $\sqrt{a^2 + b^2}$. Угол между $d_1$ и $d_2$ равен $60^\circ$.

$(\sqrt{a^2 + b^2})^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 d_1 d_2 \cos \alpha$

$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$

$a^2 + b^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 + b^2 = 100 - 48$

$a^2 + b^2 = 52$

Мы имеем систему уравнений:

1) $a^2 + c^2 = 36$

2) $b^2 + c^2 = 64$

3) $a^2 + b^2 = 52$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(b^2 + c^2) - (a^2 + c^2) = 64 - 36$

$b^2 - a^2 = 28$

Теперь решим систему из полученного уравнения и уравнения (3):

A) $a^2 + b^2 = 52$

B) $-a^2 + b^2 = 28$

Сложим уравнения (A) и (B):

$(a^2 + b^2) + (-a^2 + b^2) = 52 + 28$

$2b^2 = 80$

$b^2 = 40 \Rightarrow b = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Подставим $b^2 = 40$ в уравнение (A):

$a^2 + 40 = 52$

$a^2 = 12 \Rightarrow a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Подставим $a^2 = 12$ в уравнение (1):

$12 + c^2 = 36$

$c^2 = 24 \Rightarrow c = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Теперь вычислим объем прямоугольного параллелепипеда $V = abc$:

$V = (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{10}) \cdot (2\sqrt{6})$

$V = 8 \sqrt{3 \cdot 10 \cdot 6}$

$V = 8 \sqrt{180}$

$V = 8 \sqrt{36 \cdot 5}$

$V = 8 \cdot 6 \sqrt{5}$

$V = 48\sqrt{5} \text{ см}^3$

Ответ: $48\sqrt{5} \text{ см}^3$

б) Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, периметр основания которого равен 16 см, площадь поверхности равна 168 см², а объем равен 108 см³.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с измерениями $a, b, c$.

Периметр основания $P_{осн} = 16 \text{ см}$

Площадь поверхности $S = 168 \text{ см}^2$

Объем $V = 108 \text{ см}^3$

Перевод в СИ:

$P_{осн} = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$S = 168 \text{ см}^2 = 0.0168 \text{ м}^2$

$V = 108 \text{ см}^3 = 0.000108 \text{ м}^3$

Найти:

Диагональ параллелепипеда $D$

Решение:

Формулы для прямоугольного параллелепипеда:

Периметр основания: $P_{осн} = 2(a+b)$

Площадь поверхности: $S = 2(ab + ac + bc)$

Объем: $V = abc$

Диагональ параллелепипеда: $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Из данных условий получаем систему уравнений:

1) $2(a+b) = 16 \Rightarrow a+b = 8$

2) $2(ab + ac + bc) = 168 \Rightarrow ab + ac + bc = 84$

3) $abc = 108$

Из уравнения (2) выразим $ab$:

$ab + c(a+b) = 84$

Подставим $a+b=8$ из уравнения (1):

$ab + 8c = 84 \Rightarrow ab = 84 - 8c$

Теперь подставим это выражение для $ab$ в уравнение (3):

$(84 - 8c)c = 108$

$84c - 8c^2 = 108$

Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 4:

$8c^2 - 84c + 108 = 0$

$2c^2 - 21c + 27 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $c$ с помощью дискриминанта:

$c = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27}}{2 \cdot 2}$

$c = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 216}}{4}$

$c = \frac{21 \pm \sqrt{225}}{4}$

$c = \frac{21 \pm 15}{4}$

Два возможных значения для $c$:

$c_1 = \frac{21 + 15}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$c_2 = \frac{21 - 15}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Рассмотрим первый случай: $c = 9 \text{ см}$.

Найдем $ab$: $ab = 84 - 8c = 84 - 8 \cdot 9 = 84 - 72 = 12$.

Теперь у нас есть система для $a$ и $b$:

$a+b = 8$

$ab = 12$

Можно составить квадратное уравнение $x^2 - (a+b)x + ab = 0$:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x-2)(x-6) = 0$

Следовательно, $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Таким образом, измерения основания $a$ и $b$ равны $2 \text{ см}$ и $6 \text{ см}$ (порядок не важен).

Размеры параллелепипеда: $2 \text{ см}, 6 \text{ см}, 9 \text{ см}$.

Проверим эти значения: $P_{осн} = 2(2+6) = 16 \text{ см}$ (верно), $V = 2 \cdot 6 \cdot 9 = 108 \text{ см}^3$ (верно), $S = 2(2 \cdot 6 + 2 \cdot 9 + 6 \cdot 9) = 2(12 + 18 + 54) = 2(84) = 168 \text{ см}^2$ (верно).

Рассмотрим второй случай: $c = 1.5 \text{ см}$.

Найдем $ab$: $ab = 84 - 8c = 84 - 8 \cdot 1.5 = 84 - 12 = 72$.

Составим квадратное уравнение для $a$ и $b$:

$x^2 - 8x + 72 = 0$

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 64 - 288 = -224$.

Так как дискриминант отрицательный, действительных решений для $a$ и $b$ не существует. Следовательно, этот случай не соответствует реальному прямоугольному параллелепипеду.

Таким образом, измерения параллелепипеда: $a=2 \text{ см}, b=6 \text{ см}, c=9 \text{ см}$.

Найдем диагональ параллелепипеда $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$:

$D = \sqrt{2^2 + 6^2 + 9^2}$

$D = \sqrt{4 + 36 + 81}$

$D = \sqrt{40 + 81}$

$D = \sqrt{121}$

$D = 11 \text{ см}$

Ответ: $11 \text{ см}$