Номер 483, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

483. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны $a = 12 \text{ см}$, $b = 7 \text{ см}$, $c = 10 \text{ см}$. Ребра, длины которых равны $a$ и $b$, взаимно перпендикулярны, а третье ребро образует с каждым из них угол $\phi = 60^\circ$ (рисунок 165). Найдите объем параллелепипеда.

Рисунок 165

Дано:

$a = 12 \text{ см}$

$b = 7 \text{ см}$

$c = 10 \text{ см}$

Угол между ребром $a$ и ребром $b$: $\gamma = 90^\circ$

Угол между ребром $a$ и ребром $c$: $\beta = 60^\circ$

Угол между ребром $b$ и ребром $c$: $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 0.12 \text{ м}$

$b = 0.07 \text{ м}$

$c = 0.10 \text{ м}$

$\gamma = 90^\circ$

$\beta = 60^\circ$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$V$ – объем параллелепипеда

Решение:

Объем параллелепипеда, построенного на трех ребрах $a, b, c$, исходящих из одной вершины, вычисляется по формуле:

$V = abc \sqrt{1 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - \cos^2\alpha - \cos^2\beta - \cos^2\gamma}$

где $\alpha$ – угол между ребрами $b$ и $c$, $\beta$ – угол между ребрами $a$ и $c$, $\gamma$ – угол между ребрами $a$ и $b$.

Подставим известные значения углов:

$\cos\alpha = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos\beta = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos\gamma = \cos 90^\circ = 0$

Теперь подставим эти значения в формулу для объема:

$V = abc \sqrt{1 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot 0 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 0^2}$

$V = abc \sqrt{1 + 0 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 0}$

$V = abc \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

$V = abc \sqrt{\frac{1}{2}}$

$V = \frac{abc}{\sqrt{2}}$

Подставим значения длин ребер в метрах:

$V = \frac{0.12 \cdot 0.07 \cdot 0.10}{\sqrt{2}}$

$V = \frac{0.00084}{\sqrt{2}}$

$V = \frac{0.00084 \cdot \sqrt{2}}{2}$

$V = 0.00042 \sqrt{2} \text{ м}^3$

Для удобства можно перевести объем обратно в кубические сантиметры:

$1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 10^6 \text{ см}^3$

$V = 0.00042 \sqrt{2} \cdot 10^6 \text{ см}^3$

$V = 420 \sqrt{2} \text{ см}^3$

Ответ: $420 \sqrt{2} \text{ см}^3$