Номер 484, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

484. Из прямоугольного листа жести требуется изготовить коробку, вырезая во всех его углах равные квадраты и загибая края жести. Найдите длину стороны такого квадрата, если размеры листа жести $60 \times 70 \text{ см}$, а объем коробки $20 \text{ дм}^3$.

Дано:

Размеры прямоугольного листа жести: $L = 70 \text{ см}$, $W = 60 \text{ см}$

Объем коробки: $V = 20 \text{ дм}^3$

Перевод в СИ:

$L = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}$

$W = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

$V = 20 \text{ дм}^3 = 20 \times (0.1 \text{ м})^3 = 20 \times 0.001 \text{ м}^3 = 0.02 \text{ м}^3$

Найти:

Длину стороны квадрата $x$ (которая является высотой коробки).

Решение:

Пусть $x$ – длина стороны квадрата, вырезаемого из каждого угла листа жести. Эта же длина будет высотой $h$ получившейся коробки. После вырезания квадратов и загибания краев, размеры дна коробки будут:

Длина дна: $l = L - 2x = 0.7 - 2x$ (м)

Ширина дна: $w = W - 2x = 0.6 - 2x$ (м)

Высота коробки: $h = x$ (м)

Объем коробки $V$ выражается формулой:

$V = l \times w \times h$

Подставим известные значения и выражения для сторон:

$(0.7 - 2x)(0.6 - 2x)x = 0.02$

Раскроем скобки:

$(0.42 - 1.4x - 1.2x + 4x^2)x = 0.02$

$(4x^2 - 2.6x + 0.42)x = 0.02$

$4x^3 - 2.6x^2 + 0.42x = 0.02$

Перенесем все члены в одну сторону и умножим на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$400x^3 - 260x^2 + 42x - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$200x^3 - 130x^2 + 21x - 1 = 0$

Поскольку $x$ – это длина стороны вырезаемого квадрата, то $x$ должна быть положительной. Также, для того чтобы длины сторон дна были положительными, должны выполняться условия:

$0.7 - 2x > 0 \Rightarrow 2x < 0.7 \Rightarrow x < 0.35$

$0.6 - 2x > 0 \Rightarrow 2x < 0.6 \Rightarrow x < 0.3$

Таким образом, $0 < x < 0.3$ (в метрах) или $0 < x < 30$ (в сантиметрах).

Попробуем найти простой десятичный корень (например, соответствующий целому числу сантиметров). Проверим $x = 0.1 \text{ м}$ (что соответствует $10 \text{ см}$):

$200(0.1)^3 - 130(0.1)^2 + 21(0.1) - 1 =$

$200(0.001) - 130(0.01) + 2.1 - 1 =$

$0.2 - 1.3 + 2.1 - 1 = 2.3 - 2.3 = 0$

Таким образом, $x = 0.1 \text{ м}$ является корнем уравнения. Этот корень удовлетворяет условию $0 < x < 0.3$.

Поскольку $x = 0.1$ является корнем, то $(x - 0.1)$ является множителем многочлена. Выполним деление многочлена $200x^3 - 130x^2 + 21x - 1$ на $(x - 0.1)$ (например, методом Горнера):

$200x^3 - 130x^2 + 21x - 1 = (x - 0.1)(200x^2 - 110x + 10)$

Теперь решим квадратное уравнение $200x^2 - 110x + 10 = 0$. Разделим его на 10:

$20x^2 - 11x + 1 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(20)(1)}}{2(20)}$

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 80}}{40}$

$x = \frac{11 \pm \sqrt{41}}{40}$

Таким образом, получаем еще два потенциальных корня:

$x_1 = \frac{11 + \sqrt{41}}{40}$

$x_2 = \frac{11 - \sqrt{41}}{40}$

Приблизительное значение $\sqrt{41} \approx 6.4031$.

$x_1 \approx \frac{11 + 6.4031}{40} = \frac{17.4031}{40} \approx 0.435 \text{ м}$

Этот корень $x_1 \approx 0.435 \text{ м}$ (или $43.5 \text{ см}$) не удовлетворяет условию $x < 0.3 \text{ м}$ ($43.5 \text{ см} > 30 \text{ см}$). Следовательно, он не является физически возможным решением.

$x_2 \approx \frac{11 - 6.4031}{40} = \frac{4.5969}{40} \approx 0.1149 \text{ м}$

Этот корень $x_2 \approx 0.1149 \text{ м}$ (или $11.49 \text{ см}$) удовлетворяет условию $0 < x < 0.3 \text{ м}$. Следовательно, это второе физически возможное решение.

Ответ:

Длина стороны такого квадрата может быть $10 \text{ см}$ или $\frac{11 - \sqrt{41}}{40} \text{ м} \approx 11.49 \text{ см}$.