Номер 480, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

480. В наклонной треугольной призме стороны основания равны 5 м, 6 м и 9 м, а боковое ребро равно 10 м и составляет с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите ее объем.

Дано:

Стороны основания треугольной призмы: $a = 5$ м, $b = 6$ м, $c = 9$ м.

Длина бокового ребра: $L = 10$ м.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

$a = 5$ м

$b = 6$ м

$c = 9$ м

$L = 10$ м

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание является треугольником со сторонами $a=5$ м, $b=6$ м, $c=9$ м. Для вычисления площади используем формулу Герона.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+9}{2} = \frac{20}{2} = 10$ м

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$ по формуле Герона:

$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S_{осн} = \sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)}$

$S_{осн} = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1}$

$S_{осн} = \sqrt{200}$

$S_{осн} = \sqrt{100 \cdot 2}$

$S_{осн} = 10\sqrt{2}$ м$^2$

2. Найдем высоту призмы $H$. Высота наклонной призмы связана с длиной бокового ребра $L$ и углом $\alpha$, который это ребро образует с плоскостью основания, по формуле $H = L \cdot \sin(\alpha)$.

$H = 10 \cdot \sin(45^\circ)$

Известно, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$H = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$H = 5\sqrt{2}$ м

3. Вычислим объем призмы $V$:

$V = S_{осн} \cdot H$

$V = (10\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2})$

$V = 10 \cdot 5 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})$

$V = 50 \cdot 2$

$V = 100$ м$^3$

Ответ:

Объем призмы составляет $100$ м$^3$.