Номер 490, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

490. a) Высота прямого параллелепипеда равна $h$, а стороны его основания $a$ и $b$. Чему должен быть равен двугранный угол при боковом ребре параллелепипеда, чтобы его объем был наибольшим? Найдите этот объем.

б) Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипедов, сумма трех измерений которых равна $d$, наибольший объем имеет куб с ребром $\frac{d}{3}$.

a)

Дано:

Высота прямого параллелепипеда: $h$

Стороны основания: $a$, $b$

Перевод в СИ:

Параметры даны в буквенном виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Двугранный угол $\alpha$ для наибольшего объема.

Наибольший объем $V_{max}$.

Решение:

Объем прямого параллелепипеда определяется произведением площади его основания на высоту. Площадь основания параллелепипеда, которое является параллелограммом со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними, равна $S_{осн} = ab \sin(\alpha)$.

Таким образом, объем параллелепипеда $V = S_{осн} \cdot h = ab \sin(\alpha) h$.

Для того чтобы объем $V$ был наибольшим, при фиксированных значениях $a$, $b$, и $h$, необходимо, чтобы значение $\sin(\alpha)$ было максимальным. Максимальное значение функции синуса равно $1$, и достигается оно при угле $\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

В этом случае основание параллелепипеда становится прямоугольником, и сам параллелепипед является прямоугольным.

Наибольший объем будет равен $V_{max} = ab \cdot 1 \cdot h = abh$.

Ответ: Двугранный угол должен быть равен $90^\circ$. Наибольший объем равен $abh$.

b)

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с измерениями $x, y, z$.

Сумма трех измерений: $x + y + z = d$.

Перевод в СИ:

Параметры даны в буквенном виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Доказать, что наибольший объем имеет куб с ребром $\frac{d}{3}$.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда выражается формулой $V = xyz$.

Нам дано, что $x + y + z = d$. Требуется найти наибольшее значение произведения $xyz$ при фиксированной сумме $x+y+z=d$.

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM inequality). Для любых неотрицательных чисел $x, y, z$ выполняется неравенство:

$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$

Подставим заданную сумму $x + y + z = d$ в неравенство:

$\frac{d}{3} \ge \sqrt[3]{V}$

Возведем обе части неравенства в куб:

$\left(\frac{d}{3}\right)^3 \ge V$

$V \le \frac{d^3}{27}$

Это неравенство показывает, что максимальное значение объема $V$ не может превышать $\frac{d^3}{27}$.

Равенство в неравенстве AM-GM достигается тогда и только тогда, когда все числа равны между собой, то есть $x = y = z$.

Из условия $x + y + z = d$ и $x = y = z$ следует, что $3x = d$, откуда $x = \frac{d}{3}$.

Таким образом, наибольший объем достигается, когда все измерения параллелепипеда равны между собой, то есть он является кубом с ребром $\frac{d}{3}$.

Ответ: Доказано, что наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, сумма трех измерений которого равна $d$, имеет куб с ребром $\frac{d}{3}$.