Номер 493, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

493. Найдите объем правильной $n$-угольной пирамиды, каждое ребро которой равно $a$, если:

а) $n = 4$;

б) $n = 3$.

Правильная $n$-угольная пирамида.

Длина каждого ребра (стороны основания и бокового ребра) равна $a$.

Длина ребра $a$ является величиной длины. В системе СИ единицей измерения длины является метр (м). Соответственно, объем будет измеряться в кубических метрах (м³).

Объем $V$ пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Так как пирамида правильная, основанием является правильный $n$-угольник со стороной $a$. Все боковые ребра также равны $a$. Высота правильной пирамиды опускается в центр описанной окружности основания.

Найдем радиус $R$ описанной окружности около правильного $n$-угольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$.

Высоту $h$ пирамиды найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром ($a$), радиусом описанной окружности основания ($R$) и высотой пирамиды ($h$):

$h^2 + R^2 = a^2$

$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}\right)^2} = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{1}{4 \sin^2(\frac{\pi}{n})}\right)} = a \sqrt{\frac{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}{4 \sin^2(\frac{\pi}{n})}} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})} \sqrt{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}$.

Площадь $S_{осн}$ правильного $n$-угольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}$.

Теперь подставим $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} \cdot \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})} \sqrt{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}$

$V = \frac{n a^3}{24 \tan(\frac{\pi}{n}) \sin(\frac{\pi}{n})} \sqrt{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}$

Используя $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получим:

$V = \frac{n a^3 \cos(\frac{\pi}{n})}{24 \sin^2(\frac{\pi}{n})} \sqrt{4 \sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}$.

Рассмотрим конкретные случаи:

В этом случае основанием является квадрат со стороной $a$.

Площадь основания $S_{осн} = a^2$.

Радиус описанной окружности основания $R$: диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$, поэтому $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $h$:

$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.

В этом случае основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$.

Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Радиус описанной окружности основания $R$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Высота пирамиды $h$:

$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.