Номер 497, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

497. В правильной усеченной пирамиде стороны верхнего и нижнего оснований соответственно равны $2\sqrt{3}$ дм и $4\sqrt{3}$ дм, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $60^{\circ}$. Найдите объем пирамиды, если она:

а) четырехугольная;

б) треугольная.

Дано:

Правильная усеченная пирамида

Сторона верхнего основания $a_1 = 2\sqrt{3}$ дм

Сторона нижнего основания $a_2 = 4\sqrt{3}$ дм

Двугранный угол при ребре нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a_1 = 2\sqrt{3} \text{ дм} \approx 3.464 \text{ дм} = 0.3464 \text{ м}$

$a_2 = 4\sqrt{3} \text{ дм} \approx 6.928 \text{ дм} = 0.6928 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Объем пирамиды $V$ для случаев:

a) четырехугольная

б) треугольная

Решение:

Общая формула для объема усеченной пирамиды: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ – высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади верхнего и нижнего оснований соответственно.

Высоту усеченной пирамиды $h$ можно найти из соотношения: $h = (r_2 - r_1) \tan \alpha$, где $r_1$ и $r_2$ – апофемы (радиусы вписанных окружностей) верхнего и нижнего оснований соответственно. Это расстояние от центра основания до середины стороны.

В данном случае $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

a) четырехугольная

В этом случае основаниями являются квадраты.

Апофема квадрата со стороной $a$ равна $r = \frac{a}{2}$.

Апофема верхнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

Апофема нижнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ дм.

Высота пирамиды: $h = (r_2 - r_1) \tan 60^\circ = (2\sqrt{3} - \sqrt{3}) \times \sqrt{3} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ дм.

Площадь верхнего основания: $S_1 = a_1^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$ дм$^2$.

Площадь нижнего основания: $S_2 = a_2^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48$ дм$^2$.

Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \times 3 (12 + 48 + \sqrt{12 \times 48})$.

$V = 1 \times (60 + \sqrt{576}) = 60 + 24 = 84$ дм$^3$.

Ответ: $84$ дм$^3$.

б) треугольная

В этом случае основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники.

Апофема правильного треугольника со стороной $a$ (радиус вписанной окружности) равна $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Апофема верхнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$ дм.

Апофема нижнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ дм.

Высота пирамиды: $h = (r_2 - r_1) \tan 60^\circ = (2 - 1) \times \sqrt{3} = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ дм.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь верхнего основания: $S_1 = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ дм$^2$.

Площадь нижнего основания: $S_2 = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ дм$^2$.

Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}(3\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + \sqrt{3\sqrt{3} \times 12\sqrt{3}})$.

$V = \frac{1}{3}\sqrt{3}(15\sqrt{3} + \sqrt{36 \times 3}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}(15\sqrt{3} + \sqrt{108})$.

Так как $\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$.

$V = \frac{1}{3}\sqrt{3}(15\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}(21\sqrt{3})$.

$V = \frac{1}{3} \times 21 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \times 21 \times 3 = 21$ дм$^3$.

Ответ: $21$ дм$^3$.