Номер 502, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

502. Силосная яма формы усеченной четырехугольной пирамиды, основания которой – прямоугольники, причем стороны нижнего основания равны $13 \text{ м}$ и $6 \text{ м}$, а большая сторона верхнего основания $26 \text{ м}$, имеет глубину $5 \text{ м}$. Какова масса силоса, заложенного в ней, если его $1 \text{ м}^3$ весит $0,5 \text{ т}$?

Дано:

Форма силосной ямы: усеченная четырехугольная пирамида с прямоугольными основаниями.

Стороны нижнего основания: $a_1 = 13 \text{ м}$, $b_1 = 6 \text{ м}$.

Большая сторона верхнего основания: $a_2 = 26 \text{ м}$.

Глубина (высота) ямы: $h = 5 \text{ м}$.

Плотность силоса: $\rho = 0.5 \text{ т/м}^3$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 13 \text{ м}$

$b_1 = 6 \text{ м}$

$a_2 = 26 \text{ м}$

$h = 5 \text{ м}$

$\rho = 0.5 \text{ т/м}^3 = 0.5 \times 1000 \text{ кг/м}^3 = 500 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Масса силоса $m$

Решение:

Для нахождения объема усеченной пирамиды необходимо знать площади обоих оснований. Известны обе стороны нижнего основания и одна сторона (большая) верхнего основания. Будем считать, что прямоугольные основания усеченной пирамиды подобны. В этом случае отношение соответствующих сторон одинаково.

Отношение большей стороны верхнего основания к большей стороне нижнего основания равно коэффициенту подобия $k$:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{26 \text{ м}}{13 \text{ м}} = 2$

Теперь найдем меньшую сторону верхнего основания $b_2$, используя этот коэффициент подобия:

$b_2 = k \cdot b_1 = 2 \cdot 6 \text{ м} = 12 \text{ м}$

Найдем площади нижнего ($A_1$) и верхнего ($A_2$) оснований.

Площадь нижнего основания:

$A_1 = a_1 \cdot b_1 = 13 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 78 \text{ м}^2$

Площадь верхнего основания:

$A_2 = a_2 \cdot b_2 = 26 \text{ м} \cdot 12 \text{ м} = 312 \text{ м}^2$

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h (A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2})$

Подставим известные значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \text{ м} \cdot (78 \text{ м}^2 + 312 \text{ м}^2 + \sqrt{78 \text{ м}^2 \cdot 312 \text{ м}^2})$

Вычислим значение под корнем:

$\sqrt{78 \cdot 312} = \sqrt{78 \cdot (4 \cdot 78)} = \sqrt{4 \cdot 78^2} = 2 \cdot 78 = 156$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для объема:

$V = \frac{5}{3} \cdot (78 + 312 + 156)$

$V = \frac{5}{3} \cdot (546)$

$V = 5 \cdot \frac{546}{3}$

$V = 5 \cdot 182$

$V = 910 \text{ м}^3$

Масса силоса $m$ вычисляется как произведение его объема на плотность:

$m = V \cdot \rho$

$m = 910 \text{ м}^3 \cdot 0.5 \text{ т/м}^3$

$m = 455 \text{ т}$

Ответ:

Масса силоса, заложенного в яме, составляет 455 тонн.