Номер 498, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

498. Котлован для пруда имеет форму правильной усеченной четырехугольной пирамиды, сторона верхнего основания которой равна 12 м, а нижнего – 10 м. Ее боковые грани наклонены к плоскостям оснований под углом $45^\circ$. Сколько кубометров воды может вместить этот котлован?

Дано:

Котлован имеет форму правильной усеченной четырехугольной пирамиды.

Сторона верхнего основания $a_1 = 12$ м.

Сторона нижнего основания $a_2 = 10$ м.

Угол наклона боковых граней к плоскостям оснований $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Объем воды, который может вместить котлован $V$.

Решение

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усеченной пирамиды, $S_1$ — площадь верхнего основания, $S_2$ — площадь нижнего основания.

Поскольку котлован имеет форму правильной усеченной четырехугольной пирамиды, его основания являются квадратами.

Площадь верхнего основания $S_1 = a_1^2 = 12^2 = 144$ м$^2$.

Площадь нижнего основания $S_2 = a_2^2 = 10^2 = 100$ м$^2$.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, проекцией апофемы боковой грани на плоскость основания и апофемой боковой грани. Угол наклона боковых граней к плоскостям оснований равен $45^\circ$.

Горизонтальный катет этого треугольника равен половине разности сторон оснований: $\frac{a_1 - a_2}{2}$.

В нашем случае, этот катет равен $\frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$ м.

Так как угол наклона $\alpha = 45^\circ$, а тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \alpha = \frac{h}{\frac{a_1 - a_2}{2}}$

$\tan 45^\circ = \frac{h}{1}$

Так как $\tan 45^\circ = 1$, то $h = 1 \cdot 1 = 1$ м.

Теперь подставим найденные значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (144 + 100 + \sqrt{144 \cdot 100})$

$V = \frac{1}{3} (244 + \sqrt{14400})$

$V = \frac{1}{3} (244 + 120)$

$V = \frac{1}{3} (364)$

$V = 121.333...$ м$^3$ или $121\frac{1}{3}$ м$^3$.

Ответ: $121\frac{1}{3}$ м$^3$.