Номер 496, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

496. Докажите, что объем правильной треугольной пирамиды равен $ \frac{1}{3}Sa $, где $ a $ – сторона основания, $ S $ – площадь сечения пирамиды, проходящего через боковое ребро и перпендикулярного основанию.

Дано:

Правильная треугольная пирамида.

Сторона основания: $a$.

Площадь сечения, проходящего через боковое ребро и перпендикулярного основанию: $S$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача символическая.

Найти:

Доказать, что объем пирамиды $V = \frac{1}{3}Sa$.

Решение:

Пусть $P$ — вершина правильной треугольной пирамиды, а $ABC$ — ее основание. Сторона основания равна $a$.

Пусть $O$ — центр основания (центроид правильного треугольника $ABC$). Высота пирамиды $h = PO$.

Площадь основания $B$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$B = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Объем пирамиды $V$ вычисляется по общей формуле:

$V = \frac{1}{3} B h$

Подставим выражение для $B$:

$V = \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) h = \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 h \quad (*)$

Теперь рассмотрим сечение пирамиды. Согласно условию, это сечение проходит через боковое ребро (например, $PA$) и перпендикулярно основанию.

Поскольку плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания $ABC$, и высота пирамиды $PO$ перпендикулярна основанию, то высота $PO$ должна лежать в плоскости сечения.

Следовательно, плоскость сечения содержит точки $P$, $A$ и $O$.

Эта плоскость пересекает основание пирамиды вдоль прямой, проходящей через $A$ и $O$. Поскольку $O$ — центроид, а $A$ — вершина, эта прямая является частью медианы $AM_c$ треугольника $ABC$, где $M_c$ — середина стороны $BC$. (Медиана $AM_c$ содержит центроид $O$).

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $PAM_c$.

Основанием этого треугольника является медиана $AM_c$ правильного треугольника $ABC$. Длина медианы (или высоты) правильного треугольника со стороной $a$ равна:

$AM_c = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Высота треугольника $PAM_c$ от вершины $P$ к основанию $AM_c$ — это высота пирамиды $PO = h$, так как $PO \perp \text{основанию}$ и $AM_c$ лежит в основании.

Площадь сечения $S$ (по условию, это площадь треугольника $PAM_c$) равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AM_c \cdot PO$

$S = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) \cdot h = \frac{a\sqrt{3}}{4} h \quad (**)$

Теперь подставим выражение для $S$ из (**) в правую часть формулы, которую нужно доказать ($V = \frac{1}{3}Sa$):

$\frac{1}{3} S a = \frac{1}{3} \left( \frac{a\sqrt{3}}{4} h \right) a$

$\frac{1}{3} S a = \frac{a^2 \sqrt{3} h}{12}$

Сравнивая полученное выражение с формулой для объема пирамиды $V$ из $(*)$, видим, что они совпадают:

$V = \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 h = \frac{1}{3} S a$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ:

Доказано, что объем правильной треугольной пирамиды равен $\frac{1}{3}Sa$.