Номер 499, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

499. Треугольная призма $ABCPB_1C_1$ (рисунок $171, а$) разделена на три пирамиды, как показано на рисунке $171, б$. Объясните, почему объемы этих пирамид равны.

a)

б)

Рисунок 171

Решение

Треугольная призма $ABCPB_1C_1$ (где $P$, $B_1$, $C_1$ - вершины верхней грани, $A$, $B$, $C$ - вершины нижней грани) имеет две конгруэнтные (равные по площади) треугольные основы: $\triangle ABC$ и $\triangle PB_1C_1$. Высота призмы $h$ - это перпендикулярное расстояние между плоскостями этих основ. Объем призмы $V_{призмы}$ равен произведению площади ее основания на высоту: $V_{призмы} = S_{ABC} \cdot h$.

Призма разделена на три треугольные пирамиды (тетраэдры), как показано на рисунке 171, б). Объем любой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h_{высоты}$, где $S_{основания}$ - площадь ее основания, а $h_{высоты}$ - высота, опущенная из вершины пирамиды на плоскость ее основания.

Рассмотрим эти три пирамиды:

Первая пирамида: $PABC$

Эта пирамида имеет в качестве основания треугольник $\triangle ABC$ (нижнее основание призмы) и вершину $P$ (вершина верхнего основания призмы). Высота этой пирамиды совпадает с высотой призмы $h$, так как $P$ лежит в плоскости, параллельной плоскости $\triangle ABC$ на расстоянии $h$. Её объем: $V_1 = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$.

Вторая пирамида: $CPB_1C_1$

Эту пирамиду можно рассматривать как пирамиду с основанием $\triangle PB_1C_1$ (верхнее основание призмы) и вершиной $C$ (вершина нижнего основания призмы). Высота этой пирамиды также совпадает с высотой призмы $h$, поскольку $C$ лежит в плоскости, параллельной плоскости $\triangle PB_1C_1$ на расстоянии $h$. Поскольку $\triangle ABC$ и $\triangle PB_1C_1$ являются основаниями одной и той же призмы, они конгруэнтны, и, следовательно, их площади равны: $S_{PB_1C_1} = S_{ABC}$. Её объем: $V_2 = \frac{1}{3} S_{PB_1C_1} \cdot h = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$. Таким образом, $V_1 = V_2$.

Третья пирамида: $PBB_1C$

Эту пирамиду можно представить как $P-BB_1C$ (вершина $P$, основание $\triangle BB_1C$). Рассмотрим две пирамиды: $PBB_1C$ и $PCC_1B_1$. Эти две пирамиды имеют общую вершину $P$. Их основания $\triangle BB_1C$ и $\triangle CC_1B_1$ лежат в одной плоскости (плоскости боковой грани $BCC_1B_1$). Диагональ $BC_1$ делит параллелограмм $BCC_1B_1$ на два конгруэнтных треугольника: $\triangle BB_1C$ и $\triangle CC_1B_1$. Следовательно, площади этих оснований равны: $S_{BB_1C} = S_{CC_1B_1}$. Так как эти две пирамиды имеют общую вершину $P$ и равные по площади основания, лежащие в одной плоскости, их объемы равны: $V(PBB_1C) = V(PCC_1B_1)$.

Теперь рассмотрим пирамиду $PCC_1B_1$. Её можно переориентировать как пирамиду $C-PB_1C_1$, то есть вторую пирамиду, $V_2$. На самом деле, пирамида $PCC_1B_1$ и пирамида $C P B_1 C_1$ - это одна и та же пирамида, просто обозначены разными способами (вершины).

Более наглядный способ для третьей пирамиды: Мы уже показали, что $V_1 = V_2 = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$. Общий объем призмы $V_{призмы}$ равен сумме объемов трех пирамид: $V_{призмы} = V_1 + V_2 + V_3$. $S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h + \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h + V_3$. $S_{ABC} \cdot h = \frac{2}{3} S_{ABC} \cdot h + V_3$. Отсюда $V_3 = S_{ABC} \cdot h - \frac{2}{3} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$. Таким образом, объем третьей пирамиды $V_3$ также равен $V_1$ и $V_2$.

Следовательно, объемы всех трех пирамид равны.

Ответ: Объемы всех трех пирамид равны, поскольку две из них имеют основания, конгруэнтные основаниям призмы, и высоту, равную высоте призмы. Их объем составляет $\frac{1}{3}$ объема призмы. Объем третьей пирамиды, составляющей оставшуюся часть призмы, также равен $\frac{1}{3}$ объема призмы, что доказывает равенство объемов всех трех пирамид.