Номер 506, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

506. a) Найдите объем треугольной пирамиды, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны, и каждое из них равно 6 дм.

б) Найдите с точностью до $0.1 \text{ дм}^3$ объем тетраэдра $PABC$, стороны основания $ABC$ которого равны 5 дм, 6 дм, 7 дм, а все плоские углы при вершине $P$ – прямые.

а) Найдите объем треугольной пирамиды, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны, и каждое из них равно 6 дм.

Дано:

Треугольная пирамида $PABC$.

Боковые ребра $PA, PB, PC$ взаимно перпендикулярны: $PA \perp PB$, $PA \perp PC$, $PB \perp PC$.

Длины боковых ребер: $PA = 6 \text{ дм}$, $PB = 6 \text{ дм}$, $PC = 6 \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$PA = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$PB = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$PC = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Для треугольной пирамиды, у которой три ребра, исходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны, объем может быть найден по формуле:

$V = \frac{1}{6} \cdot PA \cdot PB \cdot PC$

Подставим известные значения:

$V = \frac{1}{6} \cdot 6 \text{ дм} \cdot 6 \text{ дм} \cdot 6 \text{ дм}$

$V = \frac{1}{6} \cdot 216 \text{ дм}^3$

$V = 36 \text{ дм}^3$

В единицах СИ:

$V = \frac{1}{6} \cdot 0.6 \text{ м} \cdot 0.6 \text{ м} \cdot 0.6 \text{ м}$

$V = \frac{1}{6} \cdot 0.216 \text{ м}^3$

$V = 0.036 \text{ м}^3$

Ответ: $V = 36 \text{ дм}^3$

б) Найдите с точностью до 0,1 дм³ объем тетраэдра PABC, стороны основания ABC которого равны 5 дм, 6 дм, 7 дм, а все плоские углы при вершине P – прямые.

Дано:

Тетраэдр $PABC$.

Стороны основания $ABC$: $AB = 5 \text{ дм}$, $BC = 6 \text{ дм}$, $AC = 7 \text{ дм}$.

Плоские углы при вершине $P$ – прямые: $\angle APB = 90^\circ$, $\angle BPC = 90^\circ$, $\angle CPA = 90^\circ$.

Перевод в СИ:

$AB = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

$BC = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$AC = 7 \text{ дм} = 0.7 \text{ м}$

Найти:

Объем тетраэдра $V$ с точностью до $0.1 \text{ дм}^3$.

Решение:

Пусть длины ребер, выходящих из вершины $P$, будут $PA = a$, $PB = b$, $PC = c$.

Поскольку плоские углы при вершине $P$ прямые, треугольники $PAB$, $PBC$, $PCA$ являются прямоугольными. Применяя теорему Пифагора к этим треугольникам, получаем систему уравнений:

$AB^2 = PA^2 + PB^2 \Rightarrow 5^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 25 = a^2 + b^2$ (1)

$BC^2 = PB^2 + PC^2 \Rightarrow 6^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow 36 = b^2 + c^2$ (2)

$AC^2 = PA^2 + PC^2 \Rightarrow 7^2 = a^2 + c^2 \Rightarrow 49 = a^2 + c^2$ (3)

Сложим все три уравнения:

$(a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (a^2 + c^2) = 25 + 36 + 49$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 110$

$a^2 + b^2 + c^2 = 55$ (4)

Теперь вычтем каждое из исходных уравнений из уравнения (4) для нахождения $a^2, b^2, c^2$:

$c^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2) = 55 - 25 = 30 \Rightarrow c = \sqrt{30} \text{ дм}$

$a^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (b^2 + c^2) = 55 - 36 = 19 \Rightarrow a = \sqrt{19} \text{ дм}$

$b^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + c^2) = 55 - 49 = 6 \Rightarrow b = \sqrt{6} \text{ дм}$

Объем тетраэдра, у которого три ребра, исходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны, равен одной шестой произведения длин этих ребер:

$V = \frac{1}{6} \cdot a \cdot b \cdot c$

$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{19} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{30}$

$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30}$

$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{19 \cdot 180}$

$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3420}$

Вычислим значение $\sqrt{3420}$:

$\sqrt{3420} \approx 58.479056$

Теперь вычислим объем:

$V = \frac{58.479056}{6} \approx 9.746509 \text{ дм}^3$

Округлим результат до $0.1 \text{ дм}^3$:

$V \approx 9.7 \text{ дм}^3$

Ответ: $V \approx 9.7 \text{ дм}^3$