Номер 510, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

510.

a) Найдите наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 6 см.

б) Чему равен наибольший объем правильной треугольной пирамиды, сумма длин всех ребер которой равна 9 дм?

а) Найдите наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 6 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида

Боковое ребро $l = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$l = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

$V_{max}$

Решение:

Пусть сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна $a$, а ее высота $h$. Боковое ребро равно $l$.

Объем пирамиды определяется формулой $V = \frac{1}{3} S_{основания} h$.

Для правильной четырехугольной пирамиды основанием является квадрат со стороной $a$, поэтому $S_{основания} = a^2$.

Таким образом, $V = \frac{1}{3} a^2 h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, боковым ребром $l$ и половиной диагонали основания. Диагональ основания квадрата равна $d = a\sqrt{2}$. Половина диагонали равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора имеем: $l^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$.

$l^2 = h^2 + \frac{2a^2}{4}$

$l^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$

Выразим $a^2$ через $l$ и $h$: $a^2 = 2(l^2 - h^2)$.

Подставим это выражение для $a^2$ в формулу объема:

$V(h) = \frac{1}{3} \cdot 2(l^2 - h^2) \cdot h$

$V(h) = \frac{2}{3} (l^2 h - h^3)$.

Для нахождения наибольшего объема найдем производную функции $V(h)$ по $h$ и приравняем ее к нулю:

$V'(h) = \frac{2}{3} (l^2 - 3h^2)$.

Приравняем производную к нулю:

$l^2 - 3h^2 = 0$

$3h^2 = l^2$

$h^2 = \frac{l^2}{3}$

$h = \frac{l}{\sqrt{3}} = \frac{l\sqrt{3}}{3}$.

Подставим значение $l = 6 \text{ см}$:

$h = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем $a^2$ при этом значении $h$:

$a^2 = 2(l^2 - h^2) = 2\left(6^2 - (2\sqrt{3})^2\right) = 2(36 - 4 \cdot 3) = 2(36 - 12) = 2 \cdot 24 = 48 \text{ см}^2$.

И, наконец, вычислим максимальный объем:

$V_{max} = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 2\sqrt{3} = 16 \cdot 2\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $32\sqrt{3} \text{ см}^3$

б) Чему равен наибольший объем правильной треугольной пирамиды, сумма длин всех ребер которой равна 9 дм?

Дано:

Правильная треугольная пирамида

Сумма длин всех ребер $S = 9 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$S = 9 \text{ дм} = 0.9 \text{ м}$

Найти:

$V_{max}$

Решение:

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а длина бокового ребра $l$.

Правильная треугольная пирамида имеет 3 ребра в основании и 3 боковых ребра. Все ребра основания равны $a$, а все боковые ребра равны $l$.

Сумма длин всех ребер: $3a + 3l = 9 \text{ дм}$.

Разделим на 3: $a + l = 3 \text{ дм}$, откуда $l = 3 - a$.

Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{основания} h$.

Основание - правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь такого треугольника: $S_{основания} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, боковым ребром $l$ и радиусом $R$ описанной окружности около основания. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + R^2$.

$l^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2$

$l^2 = h^2 + \frac{3a^2}{9}$

$l^2 = h^2 + \frac{a^2}{3}$.

Выразим $h$:

$h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{3}}$.

Подставим $l = 3 - a$:

$h = \sqrt{(3-a)^2 - \frac{a^2}{3}}$.

Теперь подставим $S_{основания}$ и $h$ в формулу объема:

$V(a) = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{(3-a)^2 - \frac{a^2}{3}}$

$V(a) = \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \sqrt{9 - 6a + a^2 - \frac{a^2}{3}}$

$V(a) = \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \sqrt{9 - 6a + \frac{2a^2}{3}}$.

Для нахождения максимального объема возведем $V(a)$ в квадрат, чтобы упростить дифференцирование. Значение $a$ при котором $V^2$ максимально, будет таким же для $V$ (так как $V > 0$).

$V^2(a) = \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\right)^2 \left(9 - 6a + \frac{2a^2}{3}\right)$

$V^2(a) = \frac{3a^4}{144} \left(\frac{27 - 18a + 2a^2}{3}\right)$

$V^2(a) = \frac{a^4}{48} \frac{2a^2 - 18a + 27}{3}$

$V^2(a) = \frac{1}{144} (2a^6 - 18a^5 + 27a^4)$.

Пусть $f(a) = 2a^6 - 18a^5 + 27a^4$. Найдем производную $f'(a)$:

$f'(a) = 12a^5 - 90a^4 + 108a^3$.

Приравняем $f'(a)$ к нулю:

$12a^3(a^2 - \frac{90}{12}a + \frac{108}{12}) = 0$

$12a^3(a^2 - \frac{15}{2}a + 9) = 0$.

Так как $a \neq 0$ (сторона основания не может быть нулевой), решаем квадратное уравнение:

$a^2 - \frac{15}{2}a + 9 = 0$

$2a^2 - 15a + 18 = 0$.

Используем формулу корней квадратного уравнения:

$a = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4(2)(18)}}{2(2)}$

$a = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

$a = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{4}$

$a = \frac{15 \pm 9}{4}$.

Два возможных значения для $a$:

$a_1 = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6 \text{ дм}$.

$a_2 = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ дм}$.

Проверим эти значения с учетом $l = 3 - a$.

Если $a = 6 \text{ дм}$, то $l = 3 - 6 = -3 \text{ дм}$. Длина ребра не может быть отрицательной, поэтому $a=6$ не является физически допустимым решением.

Если $a = 1.5 \text{ дм}$, то $l = 3 - 1.5 = 1.5 \text{ дм}$. В этом случае $a = l$, что означает, что пирамида является правильным тетраэдром (все ребра равны).

Проверим также условие существования высоты $h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{3}}$, т.е. $l^2 > \frac{a^2}{3}$.

Для $a = 1.5$ и $l = 1.5$: $(1.5)^2 > \frac{(1.5)^2}{3} \implies 1 > \frac{1}{3}$, что верно.

Вычислим максимальный объем при $a = 1.5 \text{ дм}$ (и $l = 1.5 \text{ дм}$):

$S_{основания} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(1.5)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2.25\sqrt{3}}{4} \text{ дм}^2$.

$h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{(1.5)^2 - \frac{(1.5)^2}{3}} = \sqrt{(1.5)^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right)} = \sqrt{(1.5)^2 \cdot \frac{2}{3}}$

$h = 1.5 \sqrt{\frac{2}{3}} = 1.5 \frac{\sqrt{6}}{3} = 0.5\sqrt{6} \text{ дм}$.

$V_{max} = \frac{1}{3} S_{основания} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{2.25\sqrt{3}}{4} \cdot 0.5\sqrt{6}$

$V_{max} = \frac{2.25 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{3 \cdot 6}}{12} = \frac{1.125 \sqrt{18}}{12} = \frac{1.125 \cdot 3\sqrt{2}}{12}$

$V_{max} = \frac{3.375\sqrt{2}}{12}$.

Для упрощения дроби $3.375 = \frac{27}{8}$.

$V_{max} = \frac{27/8 \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{27\sqrt{2}}{8 \cdot 12} = \frac{27\sqrt{2}}{96}$.

Сократим дробь на 3:

$V_{max} = \frac{9\sqrt{2}}{32} \text{ дм}^3$.

Ответ: $\frac{9\sqrt{2}}{32} \text{ дм}^3$