Номер 513, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Уровень А

513. Объем цилиндра увеличился в 25 раз.

а) Во сколько раз увеличилась его высота, если радиус основания остался прежним?

б) Во сколько раз увеличился радиус его основания, если высота не изменилась?

Дано:

$V_2 = 25 V_1$, где $V_1$ - начальный объем цилиндра, $V_2$ - конечный объем цилиндра.

Перевод в СИ не требуется, так как задача оперирует отношениями величин.

Найти:

a) Во сколько раз увеличилась его высота, если радиус основания остался прежним? - Найти отношение $\frac{h_2}{h_1}$.

б) Во сколько раз увеличился радиус его основания, если высота не изменилась? - Найти отношение $\frac{r_2}{r_1}$.

Решение:

Формула для объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота цилиндра.

Пусть $V_1, r_1, h_1$ — начальный объем, радиус и высота цилиндра соответственно.

Пусть $V_2, r_2, h_2$ — конечный объем, радиус и высота цилиндра соответственно.

Из условия задачи известно, что $V_2 = 25 V_1$.

a) Во сколько раз увеличилась его высота, если радиус основания остался прежним?

Если радиус основания остался прежним, то $r_2 = r_1$.

Начальный объем цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$.

Конечный объем цилиндра: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$. Так как $r_2 = r_1$, то $V_2 = \pi r_1^2 h_2$.

Согласно условию, $V_2 = 25 V_1$. Подставим выражения для объемов:

$\pi r_1^2 h_2 = 25 (\pi r_1^2 h_1)$

Разделим обе части уравнения на $\pi r_1^2$ (поскольку радиус не может быть равен нулю):

$h_2 = 25 h_1$

Это означает, что высота цилиндра увеличилась в 25 раз.

Ответ: Высота увеличилась в 25 раз.

б) Во сколько раз увеличился радиус его основания, если высота не изменилась?

Если высота не изменилась, то $h_2 = h_1$.

Начальный объем цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$.

Конечный объем цилиндра: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$. Так как $h_2 = h_1$, то $V_2 = \pi r_2^2 h_1$.

Согласно условию, $V_2 = 25 V_1$. Подставим выражения для объемов:

$\pi r_2^2 h_1 = 25 (\pi r_1^2 h_1)$

Разделим обе части уравнения на $\pi h_1$ (поскольку высота не может быть равна нулю):

$r_2^2 = 25 r_1^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как радиус является положительной величиной, мы берем только положительный корень:

$r_2 = \sqrt{25 r_1^2}$

$r_2 = 5 r_1$

Это означает, что радиус основания цилиндра увеличился в 5 раз.

Ответ: Радиус увеличился в 5 раз.