Номер 509, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

509. Найдите объем треугольной усеченной пирамиды, стороны одного основания которой равны 2,7 дм, 2,9 дм и 5,2 дм, периметр другого основания равен 7,2 дм, а высота этой пирамиды равна 1 дм.

Дано:

Стороны первого основания: $a_1 = 2.7$ дм, $b_1 = 2.9$ дм, $c_1 = 5.2$ дм

Периметр второго основания: $P_2 = 7.2$ дм

Высота усеченной пирамиды: $h = 1$ дм

Перевод в СИ:

$a_1 = 2.7$ дм $= 0.27$ м

$b_1 = 2.9$ дм $= 0.29$ м

$c_1 = 5.2$ дм $= 0.52$ м

$P_2 = 7.2$ дм $= 0.72$ м

$h = 1$ дм $= 0.1$ м

Найти:

Объем усеченной пирамиды $V$.

Решение:

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $S_1$ и $S_2$ - площади оснований, $h$ - высота пирамиды.

1. Найдем площадь первого основания ($S_1$).

Сначала вычислим периметр $P_1$ первого основания:

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 2.7 + 2.9 + 5.2 = 10.8$ дм.

Полупериметр $p_1$ первого основания:

$p_1 = P_1 / 2 = 10.8 / 2 = 5.4$ дм.

Для вычисления площади $S_1$ используем формулу Герона:

$S_1 = \sqrt{p_1(p_1-a_1)(p_1-b_1)(p_1-c_1)}$

$S_1 = \sqrt{5.4(5.4-2.7)(5.4-2.9)(5.4-5.2)}$

$S_1 = \sqrt{5.4 \cdot 2.7 \cdot 2.5 \cdot 0.2}$

$S_1 = \sqrt{7.29}$

$S_1 = 2.7$ дм$^2$.

2. Найдем площадь второго основания ($S_2$).

Основания усеченной пирамиды являются подобными треугольниками. Отношение их площадей равно квадрату отношения их периметров:

$\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^2$

$S_2 = S_1 \cdot \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^2$

Подставим известные значения:

$S_2 = 2.7 \cdot \left(\frac{7.2}{10.8}\right)^2$

Упростим дробь: $\frac{7.2}{10.8} = \frac{72}{108} = \frac{2 \cdot 36}{3 \cdot 36} = \frac{2}{3}$.

$S_2 = 2.7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 2.7 \cdot \frac{4}{9}$

$S_2 = \frac{2.7 \cdot 4}{9} = \frac{10.8}{9} = 1.2$ дм$^2$.

3. Вычислим объем усеченной пирамиды ($V$).

Используем формулу объема усеченной пирамиды с найденными значениями площадей оснований и заданной высотой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

$V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (2.7 + 1.2 + \sqrt{2.7 \cdot 1.2})$

$V = \frac{1}{3} \cdot (3.9 + \sqrt{3.24})$

$V = \frac{1}{3} \cdot (3.9 + 1.8)$

$V = \frac{1}{3} \cdot 5.7$

$V = 1.9$ дм$^3$.

Ответ: 1.9 дм$^3$.