Номер 503, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

503. Высота пирамиды 8 см. На расстоянии 3 см от вершины параллельно основанию проведена плоскость. Площадь полученного сечения $27 \text{ см}^2$. Найдите объем образованной при этом усеченной пирамиды.

Дано:

Высота пирамиды $H = 8 \text{ см}$.

Расстояние от вершины до сечения $h_1 = 3 \text{ см}$.

Площадь сечения $S_1 = 27 \text{ см}^2$.

Перевод в систему СИ:

$H = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$h_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$S_1 = 27 \text{ см}^2 = 0.0027 \text{ м}^2$

Найти:

Объем образованной при этом усеченной пирамиды $V_{\text{усеченной}}$.

Решение:

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от нее меньшую пирамиду, которая подобна исходной пирамиде. Отношение высот этих пирамид равно отношению их линейных размеров.

Высота исходной пирамиды $H = 8 \text{ см}$.

Высота отсеченной малой пирамиды $h_1 = 3 \text{ см}$.

Коэффициент подобия $k$ малой пирамиды к исходной равен отношению высот: $k = \frac{h_1}{H} = \frac{3}{8}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Пусть $S_0$ — площадь основания исходной пирамиды, а $S_1$ — площадь отсеченного сечения (которое является основанием малой пирамиды).

$\frac{S_1}{S_0} = k^2 = \left(\frac{h_1}{H}\right)^2$

Выразим площадь основания исходной пирамиды $S_0$:

$S_0 = S_1 \cdot \left(\frac{H}{h_1}\right)^2$

$S_0 = 27 \text{ см}^2 \cdot \left(\frac{8 \text{ см}}{3 \text{ см}}\right)^2 = 27 \cdot \frac{64}{9} = 3 \cdot 64 = 192 \text{ см}^2$.

Объем исходной пирамиды $V_0$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} H$:

$V_0 = \frac{1}{3} S_0 H = \frac{1}{3} \cdot 192 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 64 \cdot 8 = 512 \text{ см}^3$.

Объем отсеченной (малой) пирамиды $V_1$ можно найти, используя ее основание $S_1$ и высоту $h_1$:

$V_1 = \frac{1}{3} S_1 h_1 = \frac{1}{3} \cdot 27 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 27 \text{ см}^3$.

Объем усеченной пирамиды $V_{\text{усеченной}}$ равен разности объемов исходной пирамиды и отсеченной малой пирамиды:

$V_{\text{усеченной}} = V_0 - V_1$

$V_{\text{усеченной}} = 512 \text{ см}^3 - 27 \text{ см}^3 = 485 \text{ см}^3$.

Ответ: $485 \text{ см}^3$.