Страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

503. Высота пирамиды 8 см. На расстоянии 3 см от вершины параллельно основанию проведена плоскость. Площадь полученного сечения $27 \text{ см}^2$. Найдите объем образованной при этом усеченной пирамиды.

Дано:

Высота пирамиды $H = 8 \text{ см}$.

Расстояние от вершины до сечения $h_1 = 3 \text{ см}$.

Площадь сечения $S_1 = 27 \text{ см}^2$.

Перевод в систему СИ:

$H = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$h_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$S_1 = 27 \text{ см}^2 = 0.0027 \text{ м}^2$

Найти:

Объем образованной при этом усеченной пирамиды $V_{\text{усеченной}}$.

Решение:

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от нее меньшую пирамиду, которая подобна исходной пирамиде. Отношение высот этих пирамид равно отношению их линейных размеров.

Высота исходной пирамиды $H = 8 \text{ см}$.

Высота отсеченной малой пирамиды $h_1 = 3 \text{ см}$.

Коэффициент подобия $k$ малой пирамиды к исходной равен отношению высот: $k = \frac{h_1}{H} = \frac{3}{8}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Пусть $S_0$ — площадь основания исходной пирамиды, а $S_1$ — площадь отсеченного сечения (которое является основанием малой пирамиды).

$\frac{S_1}{S_0} = k^2 = \left(\frac{h_1}{H}\right)^2$

Выразим площадь основания исходной пирамиды $S_0$:

$S_0 = S_1 \cdot \left(\frac{H}{h_1}\right)^2$

$S_0 = 27 \text{ см}^2 \cdot \left(\frac{8 \text{ см}}{3 \text{ см}}\right)^2 = 27 \cdot \frac{64}{9} = 3 \cdot 64 = 192 \text{ см}^2$.

Объем исходной пирамиды $V_0$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} H$:

$V_0 = \frac{1}{3} S_0 H = \frac{1}{3} \cdot 192 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 64 \cdot 8 = 512 \text{ см}^3$.

Объем отсеченной (малой) пирамиды $V_1$ можно найти, используя ее основание $S_1$ и высоту $h_1$:

$V_1 = \frac{1}{3} S_1 h_1 = \frac{1}{3} \cdot 27 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 27 \text{ см}^3$.

Объем усеченной пирамиды $V_{\text{усеченной}}$ равен разности объемов исходной пирамиды и отсеченной малой пирамиды:

$V_{\text{усеченной}} = V_0 - V_1$

$V_{\text{усеченной}} = 512 \text{ см}^3 - 27 \text{ см}^3 = 485 \text{ см}^3$.

Ответ: $485 \text{ см}^3$.

504. Высота пирамиды, основанием которой является правильный шестиугольник, равна 3 дм. Через точку этой высоты, удаленной от ее вершины на 1 дм, проходит сечение пирамиды, параллельное основанию, площадь которого равна $Q$. Найдите объем усеченной пирамиды, которая отделена указанным сечением от данной пирамиды.

Дано:

Высота пирамиды $H = 3$ дм.
Расстояние сечения от вершины $h_1 = 1$ дм.
Площадь сечения $S_1 = Q$.

Перевод в СИ:

Высота пирамиды $H = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}.$
Расстояние сечения от вершины $h_1 = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}.$
Площадь сечения $S_1 = Q$ (предполагается, что $Q$ выражена в дм$^2$, иначе единицы объема будут зависеть от единиц $Q$).

Найти:

Объем усеченной пирамиды $V_{усеч}$.

Решение:

Усеченная пирамида образуется путем отсечения меньшей пирамиды от исходной. Объем усеченной пирамиды равен разности объемов исходной большой пирамиды и отсеченной малой пирамиды.

1. Найдем высоту малой (отсеченной) пирамиды. Она дана в условии: $h_1 = 1$ дм.

2. Найдем высоту усеченной пирамиды (то есть расстояние между основанием большой пирамиды и плоскостью сечения):
$h_{усеч} = H - h_1 = 3 \text{ дм} - 1 \text{ дм} = 2 \text{ дм}$.

3. Найдем площадь основания $S_0$ исходной большой пирамиды. Поскольку сечение параллельно основанию, малая пирамида (отсеченная) подобна большой пирамиде. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих линейных размеров (в данном случае, высот):
$\frac{S_1}{S_0} = \left(\frac{h_1}{H}\right)^2$
Отсюда, $S_0 = S_1 \cdot \left(\frac{H}{h_1}\right)^2$.
Подставим известные значения:
$S_0 = Q \cdot \left(\frac{3 \text{ дм}}{1 \text{ дм}}\right)^2 = Q \cdot 3^2 = 9Q$.

4. Вычислим объем исходной большой пирамиды $V_{больш}$ по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$:
$V_{больш} = \frac{1}{3} S_0 H = \frac{1}{3} (9Q) (3) = 9Q \text{ дм}^3$.

5. Вычислим объем отсеченной малой пирамиды $V_{мал}$:
$V_{мал} = \frac{1}{3} S_1 h_1 = \frac{1}{3} Q (1) = \frac{Q}{3} \text{ дм}^3$.

6. Найдем объем усеченной пирамиды $V_{усеч}$ как разность объемов большой и малой пирамид:
$V_{усеч} = V_{больш} - V_{мал} = 9Q - \frac{Q}{3} = \frac{27Q - Q}{3} = \frac{26Q}{3} \text{ дм}^3$.

Ответ: $\frac{26Q}{3}$ дм$^3$.

505. Основание пирамиды – прямоугольная трапеция, в которой большая из боковых сторон 12 см, а меньший угол $30^\circ$. Все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости ее основания. Площадь боковой поверхности пирамиды равна $90 \text{ см}^2$. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Основание пирамиды – прямоугольная трапеция.

Большая из боковых сторон трапеции $c = 12 \text{ см}$.

Меньший угол трапеции $\alpha = 30^\circ$.

Все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости ее основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_L = 90 \text{ см}^2$.

Перевод в систему СИ:

$c = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$S_L = 90 \text{ см}^2 = 0.009 \text{ м}^2$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Пусть основание пирамиды – прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ – высота трапеции ($AD \perp AB$, $AD \perp DC$). Сторона $BC$ – большая из боковых сторон, $BC = 12 \text{ см}$. Меньший угол трапеции – это $\angle C = 30^\circ$.

Опустим высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $DC$. Тогда $BK = AD$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BKC$:

$AD = BK = BC \cdot \sin(\angle C) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}$.

$KC = BC \cdot \cos(\angle C) = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Поскольку все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости ее основания, проекция вершины пирамиды на основание (пусть это точка $O$) является центром вписанной окружности в основание трапеции. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма противоположных сторон равна: $AB + DC = AD + BC$.

Пусть $DC = a$ и $AB = b$. Тогда $b = a + KC = a + 6\sqrt{3}$.

Подставляем в условие вписанной окружности:

$(a + 6\sqrt{3}) + a = 6 + 12$

$2a + 6\sqrt{3} = 18$

$2a = 18 - 6\sqrt{3}$

$a = 9 - 3\sqrt{3} \text{ см}$ (длина $DC$)

Тогда $b = (9 - 3\sqrt{3}) + 6\sqrt{3} = 9 + 3\sqrt{3} \text{ см}$ (длина $AB$)

Вычислим площадь основания трапеции $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{AB + DC}{2} \cdot AD = \frac{(9 + 3\sqrt{3}) + (9 - 3\sqrt{3})}{2} \cdot 6 = \frac{18}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54 \text{ см}^2$.

Вычислим периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = AB + BC + CD + DA = (9 + 3\sqrt{3}) + 12 + (9 - 3\sqrt{3}) + 6 = 18 + 12 + 6 = 36 \text{ см}$.

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, радиус этой окружности $r = \frac{AD}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_L$ также может быть выражена через периметр основания $P_{осн}$ и апофему пирамиды $h_a$:

$S_L = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$

$90 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot h_a$

$90 = 18 \cdot h_a$

$h_a = \frac{90}{18} = 5 \text{ см}$.

Пусть $H$ – высота пирамиды. Апофема $h_a$, высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $h_a$ – гипотенуза.

$H^2 + r^2 = h_a^2$

$H^2 + 3^2 = 5^2$

$H^2 + 9 = 25$

$H^2 = 16$

$H = 4 \text{ см}$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

$V = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 4$

$V = 18 \cdot 4$

$V = 72 \text{ см}^3$.

Ответ: $72 \text{ см}^3$

506. a) Найдите объем треугольной пирамиды, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны, и каждое из них равно 6 дм.

б) Найдите с точностью до $0.1 \text{ дм}^3$ объем тетраэдра $PABC$, стороны основания $ABC$ которого равны 5 дм, 6 дм, 7 дм, а все плоские углы при вершине $P$ – прямые.

а) Найдите объем треугольной пирамиды, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны, и каждое из них равно 6 дм.

Дано:

Треугольная пирамида $PABC$.

Боковые ребра $PA, PB, PC$ взаимно перпендикулярны: $PA \perp PB$, $PA \perp PC$, $PB \perp PC$.

Длины боковых ребер: $PA = 6 \text{ дм}$, $PB = 6 \text{ дм}$, $PC = 6 \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$PA = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$PB = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$PC = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Для треугольной пирамиды, у которой три ребра, исходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны, объем может быть найден по формуле:

$V = \frac{1}{6} \cdot PA \cdot PB \cdot PC$

Подставим известные значения:

$V = \frac{1}{6} \cdot 6 \text{ дм} \cdot 6 \text{ дм} \cdot 6 \text{ дм}$

$V = \frac{1}{6} \cdot 216 \text{ дм}^3$

$V = 36 \text{ дм}^3$

В единицах СИ:

$V = \frac{1}{6} \cdot 0.6 \text{ м} \cdot 0.6 \text{ м} \cdot 0.6 \text{ м}$

$V = \frac{1}{6} \cdot 0.216 \text{ м}^3$

$V = 0.036 \text{ м}^3$

Ответ: $V = 36 \text{ дм}^3$

б) Найдите с точностью до 0,1 дм³ объем тетраэдра PABC, стороны основания ABC которого равны 5 дм, 6 дм, 7 дм, а все плоские углы при вершине P – прямые.

Дано:

Тетраэдр $PABC$.

Стороны основания $ABC$: $AB = 5 \text{ дм}$, $BC = 6 \text{ дм}$, $AC = 7 \text{ дм}$.

Плоские углы при вершине $P$ – прямые: $\angle APB = 90^\circ$, $\angle BPC = 90^\circ$, $\angle CPA = 90^\circ$.

Перевод в СИ:

$AB = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

$BC = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$AC = 7 \text{ дм} = 0.7 \text{ м}$

Найти:

Объем тетраэдра $V$ с точностью до $0.1 \text{ дм}^3$.

Решение:

Пусть длины ребер, выходящих из вершины $P$, будут $PA = a$, $PB = b$, $PC = c$.

Поскольку плоские углы при вершине $P$ прямые, треугольники $PAB$, $PBC$, $PCA$ являются прямоугольными. Применяя теорему Пифагора к этим треугольникам, получаем систему уравнений:

$AB^2 = PA^2 + PB^2 \Rightarrow 5^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 25 = a^2 + b^2$ (1)

$BC^2 = PB^2 + PC^2 \Rightarrow 6^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow 36 = b^2 + c^2$ (2)

$AC^2 = PA^2 + PC^2 \Rightarrow 7^2 = a^2 + c^2 \Rightarrow 49 = a^2 + c^2$ (3)

Сложим все три уравнения:

$(a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (a^2 + c^2) = 25 + 36 + 49$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 110$

$a^2 + b^2 + c^2 = 55$ (4)

Теперь вычтем каждое из исходных уравнений из уравнения (4) для нахождения $a^2, b^2, c^2$:

$c^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2) = 55 - 25 = 30 \Rightarrow c = \sqrt{30} \text{ дм}$

$a^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (b^2 + c^2) = 55 - 36 = 19 \Rightarrow a = \sqrt{19} \text{ дм}$

$b^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + c^2) = 55 - 49 = 6 \Rightarrow b = \sqrt{6} \text{ дм}$

Объем тетраэдра, у которого три ребра, исходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны, равен одной шестой произведения длин этих ребер:

$V = \frac{1}{6} \cdot a \cdot b \cdot c$

$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{19} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{30}$

$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30}$

$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{19 \cdot 180}$

$V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3420}$

Вычислим значение $\sqrt{3420}$:

$\sqrt{3420} \approx 58.479056$

Теперь вычислим объем:

$V = \frac{58.479056}{6} \approx 9.746509 \text{ дм}^3$

Округлим результат до $0.1 \text{ дм}^3$:

$V \approx 9.7 \text{ дм}^3$

Ответ: $V \approx 9.7 \text{ дм}^3$

507. Высота правильной усеченной треугольной пирамиды равна $3\sqrt{3}$ см, ее объем равен $189\text{ см}^3$, а площади оснований относятся как $1 : 4$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

$H = 3\sqrt{3}$ см

$V = 189$ см$^3$

$S_1 : S_2 = 1 : 4$

Перевод в СИ:

$H = 3\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$V = 189 \times 10^{-6}$ м$^3$

Найти:

$S_{бок}$

Решение:

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$.

Известно, что площади оснований относятся как $1:4$, то есть $S_2 = 4S_1$.

Подставим это соотношение в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + 4S_1 + \sqrt{S_1 \cdot 4S_1})$

$V = \frac{1}{3}H(5S_1 + \sqrt{4S_1^2})$

$V = \frac{1}{3}H(5S_1 + 2S_1)$

$V = \frac{1}{3}H(7S_1)$

$V = \frac{7}{3}HS_1$

Выразим $S_1$ из этой формулы:

$S_1 = \frac{3V}{7H}$

Подставим численные значения:

$S_1 = \frac{3 \cdot 189 \times 10^{-6}}{7 \cdot 3\sqrt{3} \times 10^{-2}}$

$S_1 = \frac{567 \times 10^{-6}}{21\sqrt{3} \times 10^{-2}}$

$S_1 = \frac{27}{\sqrt{3}} \times 10^{-4}$

$S_1 = \frac{27\sqrt{3}}{3} \times 10^{-4}$

$S_1 = 9\sqrt{3} \times 10^{-4}$ м$^2$

Тогда площадь большего основания $S_2 = 4S_1 = 4 \cdot 9\sqrt{3} \times 10^{-4} = 36\sqrt{3} \times 10^{-4}$ м$^2$.

Поскольку основания являются правильными треугольниками, их площади выражаются как $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ – сторона треугольника. Отсюда выразим стороны оснований:

$a^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}}$

Для меньшего основания:

$a_1^2 = \frac{4 \cdot 9\sqrt{3} \times 10^{-4}}{\sqrt{3}} = 36 \times 10^{-4}$

$a_1 = \sqrt{36 \times 10^{-4}} = 6 \times 10^{-2}$ м

Для большего основания:

$a_2^2 = \frac{4 \cdot 36\sqrt{3} \times 10^{-4}}{\sqrt{3}} = 144 \times 10^{-4}$

$a_2 = \sqrt{144 \times 10^{-4}} = 12 \times 10^{-2}$ м

Периметры оснований равны $P = 3a$:

$P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 6 \times 10^{-2} = 18 \times 10^{-2}$ м

$P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 12 \times 10^{-2} = 36 \times 10^{-2}$ м

Для нахождения площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды необходима апофема боковой грани ($h_a$). Апофема правильного треугольника (радиус вписанной окружности) $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

$r_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{6} = \frac{6 \times 10^{-2} \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{6} = \frac{12 \times 10^{-2} \sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

Апофема боковой грани ($h_a$) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и разность апофем оснований $(r_2 - r_1)$:

$h_a = \sqrt{H^2 + (r_2 - r_1)^2}$

$h_a = \sqrt{(3\sqrt{3} \times 10^{-2})^2 + (2\sqrt{3} \times 10^{-2} - \sqrt{3} \times 10^{-2})^2}$

$h_a = \sqrt{(3\sqrt{3} \times 10^{-2})^2 + (\sqrt{3} \times 10^{-2})^2}$

$h_a = \sqrt{(9 \cdot 3 \cdot 10^{-4}) + (3 \cdot 10^{-4})}$

$h_a = \sqrt{27 \cdot 10^{-4} + 3 \cdot 10^{-4}}$

$h_a = \sqrt{30 \cdot 10^{-4}}$

$h_a = \sqrt{30} \times 10^{-2}$ м

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a$.

Подставим найденные значения:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(18 \times 10^{-2} + 36 \times 10^{-2})(\sqrt{30} \times 10^{-2})$

$S_{бок} = \frac{1}{2}(54 \times 10^{-2})(\sqrt{30} \times 10^{-2})$

$S_{бок} = 27 \times 10^{-2} \cdot \sqrt{30} \times 10^{-2}$

$S_{бок} = 27\sqrt{30} \times 10^{-4}$ м$^2$

Ответ: $27\sqrt{30} \times 10^{-4}$ м$^2$

508. В треугольной пирамиде две боковые грани перпендикулярны и перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Площади этих граней равны $S$ и $Q$, а длина их общего ребра равна $b$. Через середину высоты пирамиды проведено сечение, параллельное ее основанию. Найдите объем образованной при этом усеченной пирамиды.

Дано:

Треугольная пирамида.

Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания пирамиды.

Эти две боковые грани перпендикулярны друг другу.

Площадь первой боковой грани: $S$

Площадь второй боковой грани: $Q$

Длина общего ребра этих граней: $b$

Через середину высоты пирамиды проведено сечение, параллельное ее основанию.

Найти:

Объем образованной усеченной пирамиды $V_{\text{усеч}}$.

Решение:

Пусть вершина пирамиды будет $V$, а основание — треугольник $ABC$. По условию, две боковые грани (например, $VAB$ и $VAC$) перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения перпендикулярна этой третьей плоскости. Следовательно, общее ребро $VA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $VA$ является высотой пирамиды. Длина этого общего ребра равна $b$, значит, высота исходной пирамиды $H = VA = b$.

Также по условию, эти две боковые грани ($VAB$ и $VAC$) перпендикулярны друг другу. Так как $VA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то $VA$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через $A$. В частности, $VA \perp AB$ и $VA \perp AC$. Для того чтобы грани $VAB$ и $VAC$ были перпендикулярны, угол между ними должен быть $90^\circ$. Поскольку $VA$ — их общее ребро, а $AB$ и $AC$ — перпендикуляры к $VA$ в плоскостях этих граней, то угол между $AB$ и $AC$ должен быть $90^\circ$. Таким образом, основание пирамиды, треугольник $ABC$, является прямоугольным треугольником с катетами $AB$ и $AC$.

Площадь грани $VAB$ (обозначим ее как $S$) вычисляется как площадь прямоугольного треугольника с катетами $VA$ и $AB$: $S = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AB$. Подставляя $VA = b$, получаем $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AB$. Отсюда выражаем длину катета $AB$: $AB = \frac{2S}{b}$.

Аналогично, площадь грани $VAC$ (обозначим ее как $Q$) вычисляется как площадь прямоугольного треугольника с катетами $VA$ и $AC$: $Q = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AC$. Подставляя $VA = b$, получаем $Q = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AC$. Отсюда выражаем длину катета $AC$: $AC = \frac{2Q}{b}$.

Площадь основания $A_{\text{осн}}$ (треугольник $ABC$) вычисляется как площадь прямоугольного треугольника с катетами $AB$ и $AC$: $A_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$. Подставляя найденные выражения для $AB$ и $AC$: $A_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2S}{b}\right) \cdot \left(\frac{2Q}{b}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4SQ}{b^2} = \frac{2SQ}{b^2}$.

Объем исходной пирамиды $V_{\text{пир}}$ равен: $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{осн}} \cdot H$. Подставляем $A_{\text{осн}} = \frac{2SQ}{b^2}$ и $H = b$: $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2SQ}{b^2} \cdot b = \frac{2SQ}{3b}$.

Сечение проведено через середину высоты пирамиды параллельно основанию. Это сечение отсекает малую пирамиду, подобную исходной. Коэффициент подобия $k$ между малой пирамидой и исходной пирамидой равен отношению их высот: $k = \frac{H_{\text{мал}}}{H_{\text{пир}}} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$.

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Объем малой пирамиды $V_{\text{мал}}$: $V_{\text{мал}} = k^3 \cdot V_{\text{пир}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot V_{\text{пир}} = \frac{1}{8} \cdot V_{\text{пир}}$.

Объем образованной усеченной пирамиды $V_{\text{усеч}}$ равен разности объемов исходной пирамиды и отсеченной малой пирамиды: $V_{\text{усеч}} = V_{\text{пир}} - V_{\text{мал}}$. Подставляем выражение для $V_{\text{мал}}$: $V_{\text{усеч}} = V_{\text{пир}} - \frac{1}{8} V_{\text{пир}} = \left(1 - \frac{1}{8}\right) V_{\text{пир}} = \frac{7}{8} V_{\text{пир}}$.

Теперь подставим ранее найденное выражение для $V_{\text{пир}}$: $V_{\text{усеч}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{2SQ}{3b} = \frac{14SQ}{24b} = \frac{7SQ}{12b}$.

Ответ:

Объем образованной усеченной пирамиды равен $\frac{7SQ}{12b}$.

509. Найдите объем треугольной усеченной пирамиды, стороны одного основания которой равны 2,7 дм, 2,9 дм и 5,2 дм, периметр другого основания равен 7,2 дм, а высота этой пирамиды равна 1 дм.

Дано:

Стороны первого основания: $a_1 = 2.7$ дм, $b_1 = 2.9$ дм, $c_1 = 5.2$ дм

Периметр второго основания: $P_2 = 7.2$ дм

Высота усеченной пирамиды: $h = 1$ дм

Перевод в СИ:

$a_1 = 2.7$ дм $= 0.27$ м

$b_1 = 2.9$ дм $= 0.29$ м

$c_1 = 5.2$ дм $= 0.52$ м

$P_2 = 7.2$ дм $= 0.72$ м

$h = 1$ дм $= 0.1$ м

Найти:

Объем усеченной пирамиды $V$.

Решение:

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $S_1$ и $S_2$ - площади оснований, $h$ - высота пирамиды.

1. Найдем площадь первого основания ($S_1$).

Сначала вычислим периметр $P_1$ первого основания:

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 2.7 + 2.9 + 5.2 = 10.8$ дм.

Полупериметр $p_1$ первого основания:

$p_1 = P_1 / 2 = 10.8 / 2 = 5.4$ дм.

Для вычисления площади $S_1$ используем формулу Герона:

$S_1 = \sqrt{p_1(p_1-a_1)(p_1-b_1)(p_1-c_1)}$

$S_1 = \sqrt{5.4(5.4-2.7)(5.4-2.9)(5.4-5.2)}$

$S_1 = \sqrt{5.4 \cdot 2.7 \cdot 2.5 \cdot 0.2}$

$S_1 = \sqrt{7.29}$

$S_1 = 2.7$ дм$^2$.

2. Найдем площадь второго основания ($S_2$).

Основания усеченной пирамиды являются подобными треугольниками. Отношение их площадей равно квадрату отношения их периметров:

$\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^2$

$S_2 = S_1 \cdot \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^2$

Подставим известные значения:

$S_2 = 2.7 \cdot \left(\frac{7.2}{10.8}\right)^2$

Упростим дробь: $\frac{7.2}{10.8} = \frac{72}{108} = \frac{2 \cdot 36}{3 \cdot 36} = \frac{2}{3}$.

$S_2 = 2.7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 2.7 \cdot \frac{4}{9}$

$S_2 = \frac{2.7 \cdot 4}{9} = \frac{10.8}{9} = 1.2$ дм$^2$.

3. Вычислим объем усеченной пирамиды ($V$).

Используем формулу объема усеченной пирамиды с найденными значениями площадей оснований и заданной высотой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

$V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (2.7 + 1.2 + \sqrt{2.7 \cdot 1.2})$

$V = \frac{1}{3} \cdot (3.9 + \sqrt{3.24})$

$V = \frac{1}{3} \cdot (3.9 + 1.8)$

$V = \frac{1}{3} \cdot 5.7$

$V = 1.9$ дм$^3$.

Ответ: 1.9 дм$^3$.

510.

a) Найдите наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 6 см.

б) Чему равен наибольший объем правильной треугольной пирамиды, сумма длин всех ребер которой равна 9 дм?

а) Найдите наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 6 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида

Боковое ребро $l = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$l = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

$V_{max}$

Решение:

Пусть сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна $a$, а ее высота $h$. Боковое ребро равно $l$.

Объем пирамиды определяется формулой $V = \frac{1}{3} S_{основания} h$.

Для правильной четырехугольной пирамиды основанием является квадрат со стороной $a$, поэтому $S_{основания} = a^2$.

Таким образом, $V = \frac{1}{3} a^2 h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, боковым ребром $l$ и половиной диагонали основания. Диагональ основания квадрата равна $d = a\sqrt{2}$. Половина диагонали равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора имеем: $l^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$.

$l^2 = h^2 + \frac{2a^2}{4}$

$l^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$

Выразим $a^2$ через $l$ и $h$: $a^2 = 2(l^2 - h^2)$.

Подставим это выражение для $a^2$ в формулу объема:

$V(h) = \frac{1}{3} \cdot 2(l^2 - h^2) \cdot h$

$V(h) = \frac{2}{3} (l^2 h - h^3)$.

Для нахождения наибольшего объема найдем производную функции $V(h)$ по $h$ и приравняем ее к нулю:

$V'(h) = \frac{2}{3} (l^2 - 3h^2)$.

Приравняем производную к нулю:

$l^2 - 3h^2 = 0$

$3h^2 = l^2$

$h^2 = \frac{l^2}{3}$

$h = \frac{l}{\sqrt{3}} = \frac{l\sqrt{3}}{3}$.

Подставим значение $l = 6 \text{ см}$:

$h = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем $a^2$ при этом значении $h$:

$a^2 = 2(l^2 - h^2) = 2\left(6^2 - (2\sqrt{3})^2\right) = 2(36 - 4 \cdot 3) = 2(36 - 12) = 2 \cdot 24 = 48 \text{ см}^2$.

И, наконец, вычислим максимальный объем:

$V_{max} = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 2\sqrt{3} = 16 \cdot 2\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $32\sqrt{3} \text{ см}^3$

б) Чему равен наибольший объем правильной треугольной пирамиды, сумма длин всех ребер которой равна 9 дм?

Дано:

Правильная треугольная пирамида

Сумма длин всех ребер $S = 9 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$S = 9 \text{ дм} = 0.9 \text{ м}$

Найти:

$V_{max}$

Решение:

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а длина бокового ребра $l$.

Правильная треугольная пирамида имеет 3 ребра в основании и 3 боковых ребра. Все ребра основания равны $a$, а все боковые ребра равны $l$.

Сумма длин всех ребер: $3a + 3l = 9 \text{ дм}$.

Разделим на 3: $a + l = 3 \text{ дм}$, откуда $l = 3 - a$.

Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{основания} h$.

Основание - правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь такого треугольника: $S_{основания} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, боковым ребром $l$ и радиусом $R$ описанной окружности около основания. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + R^2$.

$l^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2$

$l^2 = h^2 + \frac{3a^2}{9}$

$l^2 = h^2 + \frac{a^2}{3}$.

Выразим $h$:

$h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{3}}$.

Подставим $l = 3 - a$:

$h = \sqrt{(3-a)^2 - \frac{a^2}{3}}$.

Теперь подставим $S_{основания}$ и $h$ в формулу объема:

$V(a) = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{(3-a)^2 - \frac{a^2}{3}}$

$V(a) = \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \sqrt{9 - 6a + a^2 - \frac{a^2}{3}}$

$V(a) = \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \sqrt{9 - 6a + \frac{2a^2}{3}}$.

Для нахождения максимального объема возведем $V(a)$ в квадрат, чтобы упростить дифференцирование. Значение $a$ при котором $V^2$ максимально, будет таким же для $V$ (так как $V > 0$).

$V^2(a) = \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\right)^2 \left(9 - 6a + \frac{2a^2}{3}\right)$

$V^2(a) = \frac{3a^4}{144} \left(\frac{27 - 18a + 2a^2}{3}\right)$

$V^2(a) = \frac{a^4}{48} \frac{2a^2 - 18a + 27}{3}$

$V^2(a) = \frac{1}{144} (2a^6 - 18a^5 + 27a^4)$.

Пусть $f(a) = 2a^6 - 18a^5 + 27a^4$. Найдем производную $f'(a)$:

$f'(a) = 12a^5 - 90a^4 + 108a^3$.

Приравняем $f'(a)$ к нулю:

$12a^3(a^2 - \frac{90}{12}a + \frac{108}{12}) = 0$

$12a^3(a^2 - \frac{15}{2}a + 9) = 0$.

Так как $a \neq 0$ (сторона основания не может быть нулевой), решаем квадратное уравнение:

$a^2 - \frac{15}{2}a + 9 = 0$

$2a^2 - 15a + 18 = 0$.

Используем формулу корней квадратного уравнения:

$a = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4(2)(18)}}{2(2)}$

$a = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

$a = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{4}$

$a = \frac{15 \pm 9}{4}$.

Два возможных значения для $a$:

$a_1 = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6 \text{ дм}$.

$a_2 = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ дм}$.

Проверим эти значения с учетом $l = 3 - a$.

Если $a = 6 \text{ дм}$, то $l = 3 - 6 = -3 \text{ дм}$. Длина ребра не может быть отрицательной, поэтому $a=6$ не является физически допустимым решением.

Если $a = 1.5 \text{ дм}$, то $l = 3 - 1.5 = 1.5 \text{ дм}$. В этом случае $a = l$, что означает, что пирамида является правильным тетраэдром (все ребра равны).

Проверим также условие существования высоты $h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{3}}$, т.е. $l^2 > \frac{a^2}{3}$.

Для $a = 1.5$ и $l = 1.5$: $(1.5)^2 > \frac{(1.5)^2}{3} \implies 1 > \frac{1}{3}$, что верно.

Вычислим максимальный объем при $a = 1.5 \text{ дм}$ (и $l = 1.5 \text{ дм}$):

$S_{основания} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(1.5)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2.25\sqrt{3}}{4} \text{ дм}^2$.

$h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{(1.5)^2 - \frac{(1.5)^2}{3}} = \sqrt{(1.5)^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right)} = \sqrt{(1.5)^2 \cdot \frac{2}{3}}$

$h = 1.5 \sqrt{\frac{2}{3}} = 1.5 \frac{\sqrt{6}}{3} = 0.5\sqrt{6} \text{ дм}$.

$V_{max} = \frac{1}{3} S_{основания} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{2.25\sqrt{3}}{4} \cdot 0.5\sqrt{6}$

$V_{max} = \frac{2.25 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{3 \cdot 6}}{12} = \frac{1.125 \sqrt{18}}{12} = \frac{1.125 \cdot 3\sqrt{2}}{12}$

$V_{max} = \frac{3.375\sqrt{2}}{12}$.

Для упрощения дроби $3.375 = \frac{27}{8}$.

$V_{max} = \frac{27/8 \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{27\sqrt{2}}{8 \cdot 12} = \frac{27\sqrt{2}}{96}$.

Сократим дробь на 3:

$V_{max} = \frac{9\sqrt{2}}{32} \text{ дм}^3$.

Ответ: $\frac{9\sqrt{2}}{32} \text{ дм}^3$