Страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

Запишите формулу объема цилиндра.

Запишите формулу объема цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется как произведение площади его основания на высоту. Основанием цилиндра является круг, площадь которого находится по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — это радиус основания.

Таким образом, формула для нахождения объема ($V$) цилиндра выглядит следующим образом:

$V = S \cdot h$

Подставляя формулу площади основания, получаем:

$V = \pi R^2 h$

Где:

$V$ — объем цилиндра,
$\pi$ — математическая константа, приблизительно равная 3,14159,
$R$ — радиус основания цилиндра,
$h$ — высота цилиндра.

Ответ: $V = \pi R^2 h$

Уровень А

513. Объем цилиндра увеличился в 25 раз.

а) Во сколько раз увеличилась его высота, если радиус основания остался прежним?

б) Во сколько раз увеличился радиус его основания, если высота не изменилась?

Дано:

$V_2 = 25 V_1$, где $V_1$ - начальный объем цилиндра, $V_2$ - конечный объем цилиндра.

Перевод в СИ не требуется, так как задача оперирует отношениями величин.

Найти:

a) Во сколько раз увеличилась его высота, если радиус основания остался прежним? - Найти отношение $\frac{h_2}{h_1}$.

б) Во сколько раз увеличился радиус его основания, если высота не изменилась? - Найти отношение $\frac{r_2}{r_1}$.

Решение:

Формула для объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$, где $r$ - радиус основания, $h$ - высота цилиндра.

Пусть $V_1, r_1, h_1$ — начальный объем, радиус и высота цилиндра соответственно.

Пусть $V_2, r_2, h_2$ — конечный объем, радиус и высота цилиндра соответственно.

Из условия задачи известно, что $V_2 = 25 V_1$.

a) Во сколько раз увеличилась его высота, если радиус основания остался прежним?

Если радиус основания остался прежним, то $r_2 = r_1$.

Начальный объем цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$.

Конечный объем цилиндра: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$. Так как $r_2 = r_1$, то $V_2 = \pi r_1^2 h_2$.

Согласно условию, $V_2 = 25 V_1$. Подставим выражения для объемов:

$\pi r_1^2 h_2 = 25 (\pi r_1^2 h_1)$

Разделим обе части уравнения на $\pi r_1^2$ (поскольку радиус не может быть равен нулю):

$h_2 = 25 h_1$

Это означает, что высота цилиндра увеличилась в 25 раз.

Ответ: Высота увеличилась в 25 раз.

б) Во сколько раз увеличился радиус его основания, если высота не изменилась?

Если высота не изменилась, то $h_2 = h_1$.

Начальный объем цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$.

Конечный объем цилиндра: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$. Так как $h_2 = h_1$, то $V_2 = \pi r_2^2 h_1$.

Согласно условию, $V_2 = 25 V_1$. Подставим выражения для объемов:

$\pi r_2^2 h_1 = 25 (\pi r_1^2 h_1)$

Разделим обе части уравнения на $\pi h_1$ (поскольку высота не может быть равна нулю):

$r_2^2 = 25 r_1^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как радиус является положительной величиной, мы берем только положительный корень:

$r_2 = \sqrt{25 r_1^2}$

$r_2 = 5 r_1$

Это означает, что радиус основания цилиндра увеличился в 5 раз.

Ответ: Радиус увеличился в 5 раз.

514. У цилиндра, объем которого равен $72 \text{ дм}^3$, высоту увеличили в 3 раза, а радиус основания уменьшили в 3 раза. Чему равен объем нового цилиндра?

Дано:
Объем первого цилиндра: $V_1 = 72 \text{ дм}^3$
Высота нового цилиндра: $h_2 = 3h_1$
Радиус основания нового цилиндра: $r_2 = \frac{r_1}{3}$

Перевод в СИ:
$V_1 = 72 \text{ дм}^3 = 72 \times (10^{-1} \text{ м})^3 = 72 \times 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.072 \text{ м}^3$

Найти:
Объем нового цилиндра: $V_2$

Решение:
Формула для объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$
Объем первого (исходного) цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$
Объем нового цилиндра: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$
По условию задачи, высота нового цилиндра увеличилась в 3 раза, то есть $h_2 = 3h_1$.
Радиус основания нового цилиндра уменьшился в 3 раза, то есть $r_2 = \frac{r_1}{3}$.
Подставим выражения для $r_2$ и $h_2$ в формулу объема нового цилиндра:
$V_2 = \pi \left(\frac{r_1}{3}\right)^2 (3h_1)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$V_2 = \pi \left(\frac{r_1^2}{9}\right) (3h_1)$
$V_2 = \pi \frac{3 r_1^2 h_1}{9}$
$V_2 = \pi \frac{r_1^2 h_1}{3}$
Мы знаем, что $V_1 = \pi r_1^2 h_1$. Подставим $V_1$ в выражение для $V_2$:
$V_2 = \frac{V_1}{3}$
Теперь подставим числовое значение $V_1 = 72 \text{ дм}^3$:
$V_2 = \frac{72 \text{ дм}^3}{3} = 24 \text{ дм}^3$
В системе СИ:
$V_2 = \frac{0.072 \text{ м}^3}{3} = 0.024 \text{ м}^3$

Ответ:
Объем нового цилиндра равен $24 \text{ дм}^3$.

515. Чему равен объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг:

а) его большей стороны;

б) его меньшей стороны?

Дано:

Длины сторон прямоугольника: $a = 4 \text{ см}$, $b = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем тела, полученного вращением прямоугольника:

а) вокруг его большей стороны

б) вокруг его меньшей стороны

Решение:

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Сторона, вокруг которой происходит вращение, становится высотой ($h$) цилиндра, а другая сторона — радиусом ($r$) основания цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$.

а) его большей стороны

Большая сторона прямоугольника равна $6 \text{ см}$. Меньшая сторона равна $4 \text{ см}$.

Если вращение происходит вокруг большей стороны, то:

Высота цилиндра $h_a = 6 \text{ см}$

Радиус основания цилиндра $r_a = 4 \text{ см}$

Вычислим объем $V_a$:

$V_a = \pi r_a^2 h_a = \pi (4 \text{ см})^2 (6 \text{ см})$

$V_a = \pi (16 \text{ см}^2) (6 \text{ см})$

$V_a = 96\pi \text{ см}^3$

В единицах СИ:

$h_a = 0.06 \text{ м}$

$r_a = 0.04 \text{ м}$

$V_a = \pi (0.04 \text{ м})^2 (0.06 \text{ м})$

$V_a = \pi (0.0016 \text{ м}^2) (0.06 \text{ м})$

$V_a = 0.000096\pi \text{ м}^3$

Ответ: $96\pi \text{ см}^3$ (или $0.000096\pi \text{ м}^3$)

б) его меньшей стороны

Меньшая сторона прямоугольника равна $4 \text{ см}$. Большая сторона равна $6 \text{ см}$.

Если вращение происходит вокруг меньшей стороны, то:

Высота цилиндра $h_b = 4 \text{ см}$

Радиус основания цилиндра $r_b = 6 \text{ см}$

Вычислим объем $V_b$:

$V_b = \pi r_b^2 h_b = \pi (6 \text{ см})^2 (4 \text{ см})$

$V_b = \pi (36 \text{ см}^2) (4 \text{ см})$

$V_b = 144\pi \text{ см}^3$

В единицах СИ:

$h_b = 0.04 \text{ м}$

$r_b = 0.06 \text{ м}$

$V_b = \pi (0.06 \text{ м})^2 (0.04 \text{ м})$

$V_b = \pi (0.0036 \text{ м}^2) (0.04 \text{ м})$

$V_b = 0.000144\pi \text{ м}^3$

Ответ: $144\pi \text{ см}^3$ (или $0.000144\pi \text{ м}^3$)

516. Найдите объем равностороннего цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $24\pi \text{ см}^2$.

Дано:

Цилиндр равносторонний.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн} = 24\pi \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{полн} = 24\pi \times 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Объем цилиндра $V$

Решение:

Равносторонний цилиндр – это цилиндр, у которого высота $h$ равна диаметру основания $2r$. То есть, $h = 2r$, где $r$ – радиус основания.

Формула площади полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$.

Подставим условие равностороннего цилиндра ($h = 2r$) в формулу площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r)$

$S_{полн} = 2\pi r^2 + 4\pi r^2$

$S_{полн} = 6\pi r^2$

По условию задачи, $S_{полн} = 24\pi \text{ см}^2$. Приравниваем выражения:

$6\pi r^2 = 24\pi$

Разделим обе части уравнения на $6\pi$ для нахождения $r^2$:

$r^2 = \frac{24\pi}{6\pi}$

$r^2 = 4$

Извлекаем квадратный корень для нахождения радиуса $r$:

$r = \sqrt{4}$

$r = 2 \text{ см}$

Теперь, зная радиус, найдем высоту цилиндра $h$:

$h = 2r = 2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Формула для объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$.

Подставим найденные значения $r$ и $h$ в формулу объема:

$V = \pi (2 \text{ см})^2 (4 \text{ см})$

$V = \pi \times 4 \text{ см}^2 \times 4 \text{ см}$

$V = 16\pi \text{ см}^3$

Ответ: $16\pi \text{ см}^3$

517. Найдите объем цилиндра, если:

a) развертка его боковой поверхности – квадрат со стороной, равной 8 см;

б) в развертке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю угол, равный $60^{\circ}$, а высота цилиндра равна $h$.

Дано

Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной $a$.

Перевод в СИ

Сторона квадрата $a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Объем цилиндра $V$.

Решение

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник. Если это квадрат со стороной $a$, то высота цилиндра $h$ равна стороне квадрата, и длина окружности основания $C$ также равна стороне квадрата.

Следовательно, $h = a = 8 \text{ см}$.

Длина окружности основания $C = 2 \pi r$, где $r$ – радиус основания цилиндра.

По условию, $C = a$, значит $2 \pi r = 8 \text{ см}$.

Отсюда радиус основания $r = \frac{8}{2 \pi} = \frac{4}{\pi} \text{ см}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.

Подставляем найденные значения $r$ и $h$:

$V = \pi \left(\frac{4}{\pi}\right)^2 \cdot 8$

$V = \pi \cdot \frac{16}{\pi^2} \cdot 8$

$V = \frac{16 \cdot 8}{\pi}$

$V = \frac{128}{\pi} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{128}{\pi} \text{ см}^3$

б)

Дано

Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник. Угол между образующей и диагональю развертки $\alpha = 60^\circ$. Высота цилиндра $h$.

Перевод в СИ

Данные представлены в буквенном виде и стандартных единицах (градусы), поэтому перевод в СИ не требуется, так как ответ будет выражен через $h$.

Найти:

Объем цилиндра $V$.

Решение

Развертка боковой поверхности цилиндра – это прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника – высота цилиндра ($h$), а другая сторона – длина окружности основания цилиндра ($L = 2 \pi r$), где $r$ – радиус основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами развертки (высотой $h$ и длиной $L$) и ее диагональю.

По условию, образующая (высота $h$) составляет с диагональю угол $60^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$, а длина $L$ является катетом, противолежащим этому углу.

Используем тригонометрическую функцию тангенса:

$\tan(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{L}{h}$

Мы знаем, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Следовательно, $L = h \sqrt{3}$.

Так как $L = 2 \pi r$, мы можем найти радиус $r$:

$2 \pi r = h \sqrt{3}$

$r = \frac{h \sqrt{3}}{2 \pi}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.

Подставляем найденное выражение для $r$:

$V = \pi \left(\frac{h \sqrt{3}}{2 \pi}\right)^2 h$

$V = \pi \cdot \frac{h^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{(2 \pi)^2} \cdot h$

$V = \pi \cdot \frac{h^2 \cdot 3}{4 \pi^2} \cdot h$

$V = \frac{3 \pi h^3}{4 \pi^2}$

$V = \frac{3 h^3}{4 \pi}$.

Ответ: $V = \frac{3 h^3}{4 \pi}$