Страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Запишите формулу объема конуса.

2. По какой формуле можно найти объем усеченного конуса?

1. Объем конуса вычисляется как одна треть произведения площади его основания на высоту. Поскольку основанием конуса является круг, его площадь равна $S = \pi R^2$, где $R$ — это радиус основания. Если высота конуса равна $H$, то формула для нахождения объема будет следующей.
Ответ: $V = \frac{1}{3} S \cdot H = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

2. Объем усеченного конуса можно вычислить по формуле, использующей его высоту $H$ и радиусы двух его оснований: $R$ (радиус большего основания) и $r$ (радиус меньшего основания).
Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$.

Уровень А

526. Докажите, что объем конуса равен одной шестой произведения площади его осевого сечения на длину окружности основания.

Дано:

Конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$.

Найти:

Доказать, что объем конуса $V$ равен одной шестой произведения площади его осевого сечения $S_{сеч}$ на длину окружности основания $L$. То есть, доказать, что $V = \frac{1}{6} S_{сеч} L$.

Решение:

1. Запишем общеизвестную формулу для объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

2. Определим площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основанием этого треугольника является диаметр основания конуса, равный $2R$. Высотой треугольника является высота конуса $H$.

Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Следовательно, площадь осевого сечения:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$

3. Определим длину окружности основания конуса $L$. Длина окружности с радиусом $R$ задается формулой:

$L = 2\pi R$

4. Вычислим произведение площади осевого сечения на длину окружности основания, то есть $S_{сеч} \cdot L$:

$S_{сеч} \cdot L = (RH) \cdot (2\pi R)$

$S_{сеч} \cdot L = 2\pi R^2 H$

5. Теперь подставим полученное выражение для $S_{сеч} \cdot L$ в правую часть равенства, которое мы хотим доказать: $\frac{1}{6} S_{сеч} L$:

$\frac{1}{6} S_{сеч} L = \frac{1}{6} (2\pi R^2 H)$

Упростим это выражение:

$\frac{1}{6} (2\pi R^2 H) = \frac{2}{6} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

6. Сравнивая полученный результат с формулой объема конуса (из пункта 1), мы видим:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

И

$\frac{1}{6} S_{сеч} L = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Поскольку правые части этих равенств совпадают, левые части также равны.

Следовательно, $V = \frac{1}{6} S_{сеч} L$, что и требовалось доказать.

Ответ:

Объем конуса $V$ равен одной шестой произведения площади его осевого сечения $S_{сеч}$ на длину окружности основания $L$, поскольку обе стороны равенства приводятся к выражению $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

527. Равнобедренный треугольник, основание которого 12 см, а угол при вершине $120^\circ$, вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите объем полученного при этом тела вращения.

Дано:

Основание равнобедренного треугольника $b = 12 \text{ см}$.

Угол при вершине $\alpha = 120^\circ$.

Перевод в СИ:

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

$\alpha = 120^\circ = \frac{120}{180}\pi \text{ рад} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Когда равнобедренный треугольник вращается вокруг своей оси симметрии, образуется конус. Осью симметрии равнобедренного треугольника является его высота, опущенная из вершины на основание. Эта высота становится высотой конуса ($H$). Половина основания треугольника становится радиусом основания конуса ($R$).

1. Определим радиус основания конуса:

$R = \frac{b}{2} = \frac{0.12 \text{ м}}{2} = 0.06 \text{ м}$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой треугольника, половиной его основания и одной из боковых сторон. В этом прямоугольном треугольнике:

Катет, равный $R$ (половина основания), является противолежащим катетом для угла при вершине, который равен половине угла при вершине исходного равнобедренного треугольника.

Высота $H$ является прилежащим катетом для этого же угла.

Угол при вершине в этом прямоугольном треугольнике равен $\frac{\alpha}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

3. Найдем высоту конуса $H$ с помощью тригонометрии, используя тангенс угла:

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{R}{H}$

$\tan(60^\circ) = \frac{0.06 \text{ м}}{H}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{0.06 \text{ м}}{H}$

$H = \frac{0.06}{\sqrt{3}} \text{ м} = \frac{0.06\sqrt{3}}{3} \text{ м} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$.

4. Найдем объем конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$:

$V = \frac{1}{3} \pi (0.06 \text{ м})^2 (0.02\sqrt{3} \text{ м})$

$V = \frac{1}{3} \pi (0.0036 \text{ м}^2) (0.02\sqrt{3} \text{ м})$

$V = \frac{1}{3} \pi (0.000072\sqrt{3} \text{ м}^3)$

$V = 0.000024\sqrt{3}\pi \text{ м}^3$

Для удобства переведем полученный объем обратно в кубические сантиметры:

$V = 0.000024\sqrt{3}\pi \text{ м}^3 \times (100 \text{ см})^3/\text{м}^3$

$V = 0.000024\sqrt{3}\pi \times 1000000 \text{ см}^3$

$V = 24\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$

Ответ:

Объем полученного тела вращения составляет $24\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$.

528. Для изготовления конического сосуда вырезан сектор, угол которого равен $216^\circ$. Найдите объем сосуда, если:

a) радиус сектора 10 см;

b) длина дуги сектора $18\pi$ дм.

Дано

$ \alpha = 216^\circ $

Перевод в СИ

$ \alpha = 216^\circ = \frac{216 \cdot \pi}{180} \text{ рад} = \frac{6\pi}{5} \text{ рад} $

Найти:

$ V $ - объем сосуда (конуса)

Решение

При сворачивании сектора в конус, радиус сектора $ R_{сект} $ становится образующей конуса $ l $, а длина дуги сектора $ L_{дуги} $ становится длиной окружности основания конуса $ C $.

Формула для объема конуса: $ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $, где $ r $ – радиус основания конуса, $ h $ – высота конуса.

Связь между образующей, радиусом и высотой конуса: $ l^2 = r^2 + h^2 $.

Длина дуги сектора: $ L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R_{сект} $.

Длина окружности основания конуса: $ C = 2\pi r $.

Из равенства $ L_{дуги} = C $ следует $ r = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot R_{сект} $.

а) радиус сектора 10 см;

Дано: $ R_{сект} = 10 \text{ см} $

Перевод в СИ: $ R_{сект} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} $

1. Найдем радиус основания конуса $ r $.

$ r = \frac{216^\circ}{360^\circ} \cdot 10 \text{ см} $

$ r = \frac{3}{5} \cdot 10 \text{ см} $

$ r = 6 \text{ см} $

2. Определим образующую конуса $ l $.

$ l = R_{сект} = 10 \text{ см} $

3. Найдем высоту конуса $ h $ по теореме Пифагора.

$ h = \sqrt{l^2 - r^2} $

$ h = \sqrt{(10 \text{ см})^2 - (6 \text{ см})^2} $

$ h = \sqrt{100 \text{ см}^2 - 36 \text{ см}^2} $

$ h = \sqrt{64 \text{ см}^2} $

$ h = 8 \text{ см} $

4. Вычислим объем конуса $ V $.

$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $

$ V = \frac{1}{3} \pi (6 \text{ см})^2 (8 \text{ см}) $

$ V = \frac{1}{3} \pi (36 \text{ см}^2) (8 \text{ см}) $

$ V = 12 \cdot 8 \pi \text{ см}^3 $

$ V = 96\pi \text{ см}^3 $

Ответ: $ 96\pi \text{ см}^3 $

б) длина дуги сектора 18π дм.

Дано: $ L_{дуги} = 18\pi \text{ дм} $

Перевод в СИ: $ L_{дуги} = 18\pi \text{ дм} = 1.8\pi \text{ м} $

1. Найдем радиус основания конуса $ r $.

Длина дуги сектора $ L_{дуги} $ становится длиной окружности основания конуса $ C $.

$ C = 2\pi r $

Поскольку $ L_{дуги} = C $, имеем:

$ 18\pi \text{ дм} = 2\pi r $

$ r = \frac{18\pi \text{ дм}}{2\pi} $

$ r = 9 \text{ дм} $

2. Найдем радиус сектора $ R_{сект} $, который является образующей конуса $ l $.

Из формулы длины дуги сектора $ L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R_{сект} $ выразим $ R_{сект} $:

$ R_{сект} = \frac{L_{дуги} \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot 2\pi} $

$ R_{сект} = \frac{18\pi \text{ дм} \cdot 360^\circ}{216^\circ \cdot 2\pi} $

$ R_{сект} = \frac{18 \cdot 360}{216 \cdot 2} \text{ дм} $

$ R_{сект} = \frac{18}{2} \cdot \frac{360}{216} \text{ дм} $

$ R_{сект} = 9 \cdot \frac{5}{3} \text{ дм} $

$ R_{сект} = 15 \text{ дм} $

Таким образом, образующая конуса $ l = 15 \text{ дм} $.

3. Найдем высоту конуса $ h $ по теореме Пифагора.

$ h = \sqrt{l^2 - r^2} $

$ h = \sqrt{(15 \text{ дм})^2 - (9 \text{ дм})^2} $

$ h = \sqrt{225 \text{ дм}^2 - 81 \text{ дм}^2} $

$ h = \sqrt{144 \text{ дм}^2} $

$ h = 12 \text{ дм} $

4. Вычислим объем конуса $ V $.

$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $

$ V = \frac{1}{3} \pi (9 \text{ дм})^2 (12 \text{ дм}) $

$ V = \frac{1}{3} \pi (81 \text{ дм}^2) (12 \text{ дм}) $

$ V = 27 \cdot 12 \pi \text{ дм}^3 $

$ V = 324\pi \text{ дм}^3 $

Ответ: $ 324\pi \text{ дм}^3 $

529. Найдите объем усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 3 дм и 6 дм, а образующая:

а) равна 5 дм;

б) наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса: $R_1 = 6 \text{ дм}$

Радиус меньшего основания усеченного конуса: $R_2 = 3 \text{ дм}$

Для пункта а): образующая $l = 5 \text{ дм}$

Для пункта б): угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$R_1 = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$R_2 = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

Для пункта а): $l = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

Для пункта б): $\alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:

Объем усеченного конуса $V_a$ (для случая а))

Объем усеченного конуса $V_b$ (для случая б))

Решение:

Общая формула для объема усеченного конуса: $V = \frac{1}{3}\pi h (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$, где $h$ — высота усеченного конуса, $R_1$ и $R_2$ — радиусы оснований.

Разность радиусов: $R_1 - R_2 = 6 \text{ дм} - 3 \text{ дм} = 3 \text{ дм}$.

Значение суммы квадратов радиусов и их произведения, которое будет одинаковым для обоих пунктов:

$R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 = (6 \text{ дм})^2 + (6 \text{ дм})(3 \text{ дм}) + (3 \text{ дм})^2 = 36 \text{ дм}^2 + 18 \text{ дм}^2 + 9 \text{ дм}^2 = 63 \text{ дм}^2$.

а)

В данном случае образующая $l = 5 \text{ дм}$. Высоту $h$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного образующей, высотой и разностью радиусов. По теореме Пифагора:

$h^2 = l^2 - (R_1 - R_2)^2$

$h = \sqrt{l^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Подставляем значения:

$h = \sqrt{(5 \text{ дм})^2 - (3 \text{ дм})^2} = \sqrt{25 \text{ дм}^2 - 9 \text{ дм}^2} = \sqrt{16 \text{ дм}^2} = 4 \text{ дм}$

Теперь подставим значение высоты в формулу объема:

$V_a = \frac{1}{3}\pi (4 \text{ дм}) (63 \text{ дм}^2)$

$V_a = \frac{4 \cdot 63}{3}\pi \text{ дм}^3 = 4 \cdot 21\pi \text{ дм}^3 = 84\pi \text{ дм}^3$

Ответ: $84\pi \text{ дм}^3$

б)

В этом случае образующая наклонена к плоскости основания под углом $\alpha = 30^\circ$. Используем тот же прямоугольный треугольник.

Высота $h$ связана с углом наклона $\alpha$ и разностью радиусов $R_1 - R_2$ соотношением:

$h = (R_1 - R_2) \tan \alpha$

Подставляем значения:

$h = (3 \text{ дм}) \tan 30^\circ$

Известно, что $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$h = 3 \text{ дм} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ дм}$

Теперь подставим полученную высоту в формулу объема усеченного конуса:

$V_b = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{3} \text{ дм}) (63 \text{ дм}^2)$

$V_b = \frac{63\sqrt{3}}{3}\pi \text{ дм}^3 = 21\sqrt{3}\pi \text{ дм}^3$

Ответ: $21\sqrt{3}\pi \text{ дм}^3$

530. Сколько целых литров воды вмещается в сосуд формы усеченного конуса, высота которого 27 см, а длины окружностей оснований 99 см и 33 см?

Дано:

Высота усеченного конуса: $h = 27 \text{ см}$

Длина окружности большего основания: $C_1 = 99 \text{ см}$

Длина окружности меньшего основания: $C_2 = 33 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$h = 27 \text{ см} = 0.27 \text{ м}$

$C_1 = 99 \text{ см} = 0.99 \text{ м}$

$C_2 = 33 \text{ см} = 0.33 \text{ м}$

Найти:

Количество целых литров воды, вмещающихся в сосуд: $V_{целых\_литров}$

Решение:

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$, где $h$ - высота, $r_1$ и $r_2$ - радиусы оснований.

Длина окружности связана с радиусом формулой $C = 2\pi r$. Отсюда радиусы оснований можно выразить как: $r_1 = \frac{C_1}{2\pi}$ и $r_2 = \frac{C_2}{2\pi}$.

Подставим выражения для радиусов в формулу объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h \left( \left(\frac{C_1}{2\pi}\right)^2 + \left(\frac{C_1}{2\pi}\right) \left(\frac{C_2}{2\pi}\right) + \left(\frac{C_2}{2\pi}\right)^2 \right)$

$V = \frac{1}{3} \pi h \left( \frac{C_1^2}{4\pi^2} + \frac{C_1 C_2}{4\pi^2} + \frac{C_2^2}{4\pi^2} \right)$

$V = \frac{1}{3} \pi h \frac{1}{4\pi^2} (C_1^2 + C_1 C_2 + C_2^2)$

Упростим выражение:

$V = \frac{h}{12\pi} (C_1^2 + C_1 C_2 + C_2^2)$

Теперь подставим числовые значения: $h = 27 \text{ см}$, $C_1 = 99 \text{ см}$, $C_2 = 33 \text{ см}$.

$V = \frac{27}{12\pi} (99^2 + 99 \cdot 33 + 33^2)$

$V = \frac{9}{4\pi} (9801 + 3267 + 1089)$

$V = \frac{9}{4\pi} (14157)$

$V = \frac{127413}{4\pi} \text{ см}^3$

Для вычисления числового значения используем $\pi \approx 3.1415926535$:

$V \approx \frac{127413}{4 \cdot 3.1415926535} \approx \frac{127413}{12.566370614} \approx 10139.12 \text{ см}^3$

Для перевода объема из кубических сантиметров в литры воспользуемся соотношением: $1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$.

$V_{литры} = \frac{V \text{ (см}^3)}{1000} = \frac{10139.12}{1000} \approx 10.13912 \text{ л}$

Нас интересует количество *целых* литров воды, поэтому необходимо округлить полученное значение в меньшую сторону (взять целую часть):

$V_{целых\_литров} = \lfloor 10.13912 \rfloor = 10 \text{ л}$

Ответ:

10

531. В конусе, диаметр основания которого 4 дм, построено сечение, параллельное основанию. Площадь сечения равна $\pi \text{ дм}^2$. Найдите отношение объемов данного конуса и отсеченного усеченного конуса.

Дано:

Диаметр основания конуса $D_1 = 4$ дм.

Площадь сечения $S_2 = \pi$ дм$^2$.

Перевод в СИ:

$D_1 = 4$ дм $ = 0.4$ м.

$S_2 = \pi$ дм$^2 = \pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.01\pi$ м$^2$.

Найти:

Отношение объемов данного конуса и отсеченного усеченного конуса: $\frac{V_{конуса}}{V_{усеченного\_конуса}}$

Решение:

1. Найдем радиус основания большого конуса $R_1$: $R_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{4 \text{ дм}}{2} = 2$ дм.

2. Площадь основания большого конуса $S_1 = \pi R_1^2 = \pi (2 \text{ дм})^2 = 4\pi$ дм$^2$.

3. Площадь сечения $S_2 = \pi$ дм$^2$. Сечение является кругом. Найдем радиус сечения $R_2$:
$S_2 = \pi R_2^2$
$\pi \text{ дм}^2 = \pi R_2^2$
$R_2^2 = 1 \text{ дм}^2$
$R_2 = 1$ дм.

4. Сечение, параллельное основанию, отсекает от исходного конуса малый конус, который подобен исходному.
Отношение радиусов малого и большого конусов: $k = \frac{R_2}{R_1} = \frac{1 \text{ дм}}{2 \text{ дм}} = \frac{1}{2}$.

5. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
Пусть $V_1$ - объем большого конуса, $V_2$ - объем малого конуса.
$\frac{V_2}{V_1} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

6. Объем отсеченного усеченного конуса $V_{усеченного\_конуса}$ равен разности объемов большого и малого конусов:
$V_{усеченного\_конуса} = V_1 - V_2$.
Поскольку $V_2 = \frac{1}{8}V_1$, то
$V_{усеченного\_конуса} = V_1 - \frac{1}{8}V_1 = \frac{7}{8}V_1$.

7. Найдем искомое отношение объемов:
$\frac{V_1}{V_{усеченного\_конуса}} = \frac{V_1}{\frac{7}{8}V_1} = \frac{1}{\frac{7}{8}} = \frac{8}{7}$.

Ответ:

Отношение объемов равно $\frac{8}{7}$.

532. Найдите отношение объемов равносторонних конуса и цилиндра, площади поверхностей которых равны.

Дано:

Равносторонний конус и равносторонний цилиндр.

Площади поверхностей конуса и цилиндра равны: $S_c = S_k$.

Найти:

Отношение объемов конуса и цилиндра: $V_c / V_k$.

Решение:

1. Определим параметры равностороннего конуса. Пусть $r_c$ – радиус основания конуса, $h_c$ – его высота, $l_c$ – образующая. По определению равностороннего конуса, образующая равна диаметру основания: $l_c = 2r_c$. Высота конуса $h_c$ находится из теоремы Пифагора: $h_c^2 + r_c^2 = l_c^2$ $h_c^2 = (2r_c)^2 - r_c^2 = 4r_c^2 - r_c^2 = 3r_c^2$ $h_c = r_c\sqrt{3}$.

Площадь полной поверхности конуса $S_c$ равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_c = \pi r_c^2 + \pi r_c l_c = \pi r_c^2 + \pi r_c(2r_c) = \pi r_c^2 + 2\pi r_c^2 = 3\pi r_c^2$.

Объем конуса $V_c$: $V_c = \frac{1}{3}\pi r_c^2 h_c = \frac{1}{3}\pi r_c^2 (r_c\sqrt{3}) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} r_c^3$.

2. Определим параметры равностороннего цилиндра. Пусть $r_k$ – радиус основания цилиндра, $h_k$ – его высота. По определению равностороннего цилиндра, высота равна диаметру основания: $h_k = 2r_k$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_k$ равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: $S_k = 2\pi r_k^2 + 2\pi r_k h_k = 2\pi r_k^2 + 2\pi r_k(2r_k) = 2\pi r_k^2 + 4\pi r_k^2 = 6\pi r_k^2$.

Объем цилиндра $V_k$: $V_k = \pi r_k^2 h_k = \pi r_k^2 (2r_k) = 2\pi r_k^3$.

3. Используем условие равенства площадей поверхностей: $S_c = S_k$. $3\pi r_c^2 = 6\pi r_k^2$. Разделим обе части на $3\pi$: $r_c^2 = 2r_k^2$. Выразим $r_c$ через $r_k$: $r_c = \sqrt{2r_k^2} = r_k\sqrt{2}$.

4. Найдем отношение объемов $V_c / V_k$. Подставим выражение для $r_c$ в формулу для $V_c$: $V_c = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} r_c^3 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} (r_k\sqrt{2})^3 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} r_k^3 (\sqrt{2})^3 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} r_k^3 (2\sqrt{2}) = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3} r_k^3$.

Теперь вычислим отношение объемов: $\frac{V_c}{V_k} = \frac{\frac{2\pi\sqrt{6}}{3} r_k^3}{2\pi r_k^3}$. Сокращаем $2\pi r_k^3$: $\frac{V_c}{V_k} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

533. Треугольник, стороны которого равны 15 см, 41 см и 52 см, вращается вокруг большей стороны. Найдите объем тела вращения.

Дано:

$a = 15 \, \text{см}$

$b = 41 \, \text{см}$

$c = 52 \, \text{см}$

Перевод в СИ:

$a = 15 \, \text{см} = 0.15 \, \text{м}$

$b = 41 \, \text{см} = 0.41 \, \text{м}$

$c = 52 \, \text{см} = 0.52 \, \text{м}$

Найти:

$V_{тела \, вращения}$

Решение:

При вращении треугольника вокруг одной из его сторон образуется тело, состоящее из двух конусов, соединенных общим основанием. Радиус общего основания $R$ этих конусов равен высоте треугольника, опущенной на сторону вращения. Сумма высот этих двух конусов равна длине стороны, вокруг которой происходит вращение.

1. Найдем полупериметр $s$ треугольника:

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+41+52}{2} = \frac{108}{2} = 54 \, \text{см}$

2. Найдем площадь $S$ треугольника по формуле Герона:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S = \sqrt{54(54-15)(54-41)(54-52)}$

$S = \sqrt{54 \cdot 39 \cdot 13 \cdot 2}$

$S = \sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (3 \cdot 13) \cdot 13 \cdot 2}$

$S = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 13^2}$

$S = 2 \cdot 3^2 \cdot 13 = 2 \cdot 9 \cdot 13 = 18 \cdot 13 = 234 \, \text{см}^2$

3. Определим высоту $h$ (которая является радиусом $R$ общего основания конусов), опущенную на самую длинную сторону $c=52$ см. Площадь треугольника также может быть выражена как $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$.

$h = R = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 234}{52} = \frac{468}{52} = 9 \, \text{см}$

4. Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов. Если $h_1$ и $h_2$ — высоты этих конусов, то $h_1+h_2=c$.

Формула объема конуса: $V_{конус} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi R^2 h_2$

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 (h_1 + h_2)$

Так как $h_1 + h_2 = c$, получаем:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 c$

5. Подставим найденные значения $R=9 \, \text{см}$ и $c=52 \, \text{см}$:

$V = \frac{1}{3} \pi (9 \, \text{см})^2 (52 \, \text{см})$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 \, \text{см}^2 \cdot 52 \, \text{см}$

$V = 27 \pi \cdot 52 \, \text{см}^3$

$V = 1404 \pi \, \text{см}^3$

Ответ:

Объем тела вращения составляет $1404 \pi \, \text{см}^3$.

534. Найдите объем усеченного конуса, если его высота равна:
а) 8 см, образующая 10 см, а площадь боковой поверхности равна $100\pi \text{ см}^2$;
б) 12 см, образующая 13 см, а диагонали осевого сечения перпендикулярны.

а)

Дано:

Высота усеченного конуса $H = 8$ см

Образующая $L = 10$ см

Площадь боковой поверхности $S_б = 100\pi$ см$^2$

Перевод в СИ:

$H = 8 \cdot 10^{-2}$ м

$L = 10 \cdot 10^{-2}$ м

$S_б = 100\pi \cdot (10^{-2})^2$ м$^2 = \pi \cdot 10^{-2}$ м$^2$

Найти:

Объем усеченного конуса $V$

Решение:

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_б = \pi(R+r)L$, где $R$ и $r$ – радиусы оснований, $L$ – образующая.

Подставим известные значения:

$100\pi = \pi(R+r) \cdot 10$

Разделим обе части на $10\pi$:

$10 = R+r$ (Уравнение 1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченного конуса, образующей и разностью радиусов. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = 8^2 + (R-r)^2$

$100 = 64 + (R-r)^2$

$(R-r)^2 = 100 - 64$

$(R-r)^2 = 36$

$R-r = 6$ (Уравнение 2, так как $R > r$, разность положительна)

Решим систему уравнений:

$R+r = 10$

$R-r = 6$

Сложим уравнения:

$(R+r) + (R-r) = 10 + 6$

$2R = 16$

$R = 8$ см

Вычтем второе уравнение из первого:

$(R+r) - (R-r) = 10 - 6$

$2r = 4$

$r = 2$ см

Формула объема усеченного конуса: $V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot (8^2 + 8 \cdot 2 + 2^2)$

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot (64 + 16 + 4)$

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot 84$

$V = 8\pi \cdot 28$

$V = 224\pi$ см$^3$

Ответ: $224\pi$ см$^3$

б)

Дано:

Высота усеченного конуса $H = 12$ см

Образующая $L = 13$ см

Диагонали осевого сечения перпендикулярны.

Перевод в СИ:

$H = 12 \cdot 10^{-2}$ м

$L = 13 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Объем усеченного конуса $V$

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то её высота равна полусумме длин оснований. В данном случае, основаниями трапеции являются диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а высота трапеции — это высота конуса $H$.

Таким образом, $H = \frac{2R + 2r}{2} = R+r$.

Подставим известное значение $H$:

$12 = R+r$ (Уравнение 1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченного конуса, образующей и разностью радиусов. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения:

$13^2 = 12^2 + (R-r)^2$

$169 = 144 + (R-r)^2$

$(R-r)^2 = 169 - 144$

$(R-r)^2 = 25$

$R-r = 5$ (Уравнение 2, так как $R > r$, разность положительна)

Решим систему уравнений:

$R+r = 12$

$R-r = 5$

Сложим уравнения:

$(R+r) + (R-r) = 12 + 5$

$2R = 17$

$R = 8.5$ см

Вычтем второе уравнение из первого:

$(R+r) - (R-r) = 12 - 5$

$2r = 7$

$r = 3.5$ см

Формула объема усеченного конуса: $V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot (8.5^2 + 8.5 \cdot 3.5 + 3.5^2)$

$V = 4\pi \cdot (72.25 + 29.75 + 12.25)$

$V = 4\pi \cdot (114.25)$

$V = 457\pi$ см$^3$

Ответ: $457\pi$ см$^3$

535. Чему равно отношение объема конуса, описанного около правильного тетраэдра, к объему вписанного в него конуса?

Дано

Дан правильный тетраэдр со стороной $a$.

Около тетраэдра описан конус $K_{опис}$ (его вершина совпадает с одной из вершин тетраэдра, а основание является окружностью, описанной около противоположной грани).

В тетраэдр вписан конус $K_{впис}$ (его вершина совпадает с той же вершиной тетраэдра, что и у описанного конуса, а основание является окружностью, вписанной в противоположную грань).

Найти:

Отношение объема описанного конуса к объему вписанного конуса, т.е. $\frac{V_{опис}}{V_{впис}}$.

Решение

Пусть сторона правильного тетраэдра равна $a$.

1. Параметры правильного тетраэдра:

Высота правильного тетраэдра $H_T$ вычисляется по формуле $H_T = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Радиус $R_C$ окружности, описанной около равностороннего треугольника (грани тетраэдра) со стороной $a$, равен $R_C = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Радиус $R_I$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник (грани тетраэдра) со стороной $a$, равен $R_I = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

2. Объем описанного конуса ($V_{опис}$):

Вершина описанного конуса совпадает с одной из вершин тетраэдра, а его основание лежит в плоскости противоположной грани и является окружностью, описанной около этой грани.

Высота описанного конуса $H_{опис}$ равна высоте тетраэдра: $H_{опис} = H_T = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Радиус основания описанного конуса $R_{опис}$ равен радиусу описанной окружности грани: $R_{опис} = R_C = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Тогда объем описанного конуса $V_{опис}$ равен:

$V_{опис} = \frac{1}{3}\pi R_{опис}^2 H_{опис} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2}{3}\right) \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{27}$.

3. Объем вписанного конуса ($V_{впис}$):

Вершина вписанного конуса совпадает с той же вершиной тетраэдра, что и у описанного конуса, а его основание лежит в той же плоскости и является окружностью, вписанной в противоположную грань.

Высота вписанного конуса $H_{впис}$ также равна высоте тетраэдра: $H_{впис} = H_T = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Радиус основания вписанного конуса $R_{впис}$ равен радиусу вписанной окружности грани: $R_{впис} = R_I = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Тогда объем вписанного конуса $V_{впис}$ равен:

$V_{впис} = \frac{1}{3}\pi R_{впис}^2 H_{впис} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2}{4 \cdot 3}\right) \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2}{12}\right) \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{108}$.

4. Отношение объемов:

Отношение объема описанного конуса к объему вписанного конуса равно:

$\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{27}}{\frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{108}} = \frac{1/27}{1/108} = \frac{108}{27} = 4$.

Ответ:

Отношение объема конуса, описанного около правильного тетраэдра, к объему вписанного в него конуса равно $4$.

536. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, сторона основания которой 6 см, а угол между соседними боковыми ребрами 45°. Найдите объем конуса.

Дано:

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды: $a = 6 \text{ см}$

Угол между соседними боковыми ребрами: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса: $V_{cone}$

Решение:

Поскольку правильная четырехугольная пирамида вписана в конус, это означает, что ее основание (квадрат) вписано в основание конуса (круг), а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. Следовательно, высота конуса равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса равен половине диагонали основания пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса ($R$).

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной $a = 6 \text{ см}$.

Диагональ квадрата ($d$) равна $a\sqrt{2}$.

$d = 6\sqrt{2} \text{ см}$

Радиус основания конуса ($R$) равен половине этой диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$

2. Найдем длину бокового ребра пирамиды ($l$).

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя соседними вершинами основания. Пусть $S$ - вершина пирамиды, а $A$ и $B$ - соседние вершины основания. Тогда $SA = SB = l$ (боковые ребра), и $AB = a = 6 \text{ см}$ (сторона основания). Угол между соседними боковыми ребрами $\angle ASB = \alpha = 45^\circ$.

По теореме косинусов для $\triangle SAB$:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos(\angle ASB)$

$a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2 \cos(45^\circ)$

$a^2 = 2l^2 (1 - \cos(45^\circ))$

Подставим известные значения ($a=6$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$):

$6^2 = 2l^2 \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$36 = 2l^2 \left(\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right)$

$36 = l^2 (2 - \sqrt{2})$

Выразим $l^2$:

$l^2 = \frac{36}{2 - \sqrt{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{2})$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$l^2 = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{2}$

$l^2 = 18(2 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$

3. Найдем высоту конуса ($H$).

Высота пирамиды ($H$) совпадает с высотой конуса. Высота, боковое ребро ($l$) и радиус описанной окружности основания ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой.

По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R^2$

$H^2 = l^2 - R^2$

Мы знаем $l^2 = 18(2 + \sqrt{2})$ и $R^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см}^2$.

$H^2 = 18(2 + \sqrt{2}) - 18$

$H^2 = 18(2 + \sqrt{2} - 1)$

$H^2 = 18(1 + \sqrt{2})$

$H = \sqrt{18(1 + \sqrt{2})} = \sqrt{9 \cdot 2(1 + \sqrt{2})} = 3\sqrt{2(1 + \sqrt{2})} = 3\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} \text{ см}$

4. Найдем объем конуса ($V_{cone}$).

Формула объема конуса: $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Подставим значения $R^2 = 18 \text{ см}^2$ и $H = 3\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} \text{ см}$:

$V_{cone} = \frac{1}{3}\pi (18) (3\sqrt{2 + 2\sqrt{2}})$

$V_{cone} = 6\pi (3\sqrt{2 + 2\sqrt{2}})$

$V_{cone} = 18\pi \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} \text{ см}^3$

Ответ:

$V_{cone} = 18\pi \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} \text{ см}^3$