Номер 530, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

530. Сколько целых литров воды вмещается в сосуд формы усеченного конуса, высота которого 27 см, а длины окружностей оснований 99 см и 33 см?

Дано:

Высота усеченного конуса: $h = 27 \text{ см}$

Длина окружности большего основания: $C_1 = 99 \text{ см}$

Длина окружности меньшего основания: $C_2 = 33 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$h = 27 \text{ см} = 0.27 \text{ м}$

$C_1 = 99 \text{ см} = 0.99 \text{ м}$

$C_2 = 33 \text{ см} = 0.33 \text{ м}$

Найти:

Количество целых литров воды, вмещающихся в сосуд: $V_{целых\_литров}$

Решение:

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$, где $h$ - высота, $r_1$ и $r_2$ - радиусы оснований.

Длина окружности связана с радиусом формулой $C = 2\pi r$. Отсюда радиусы оснований можно выразить как: $r_1 = \frac{C_1}{2\pi}$ и $r_2 = \frac{C_2}{2\pi}$.

Подставим выражения для радиусов в формулу объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h \left( \left(\frac{C_1}{2\pi}\right)^2 + \left(\frac{C_1}{2\pi}\right) \left(\frac{C_2}{2\pi}\right) + \left(\frac{C_2}{2\pi}\right)^2 \right)$

$V = \frac{1}{3} \pi h \left( \frac{C_1^2}{4\pi^2} + \frac{C_1 C_2}{4\pi^2} + \frac{C_2^2}{4\pi^2} \right)$

$V = \frac{1}{3} \pi h \frac{1}{4\pi^2} (C_1^2 + C_1 C_2 + C_2^2)$

Упростим выражение:

$V = \frac{h}{12\pi} (C_1^2 + C_1 C_2 + C_2^2)$

Теперь подставим числовые значения: $h = 27 \text{ см}$, $C_1 = 99 \text{ см}$, $C_2 = 33 \text{ см}$.

$V = \frac{27}{12\pi} (99^2 + 99 \cdot 33 + 33^2)$

$V = \frac{9}{4\pi} (9801 + 3267 + 1089)$

$V = \frac{9}{4\pi} (14157)$

$V = \frac{127413}{4\pi} \text{ см}^3$

Для вычисления числового значения используем $\pi \approx 3.1415926535$:

$V \approx \frac{127413}{4 \cdot 3.1415926535} \approx \frac{127413}{12.566370614} \approx 10139.12 \text{ см}^3$

Для перевода объема из кубических сантиметров в литры воспользуемся соотношением: $1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$.

$V_{литры} = \frac{V \text{ (см}^3)}{1000} = \frac{10139.12}{1000} \approx 10.13912 \text{ л}$

Нас интересует количество *целых* литров воды, поэтому необходимо округлить полученное значение в меньшую сторону (взять целую часть):

$V_{целых\_литров} = \lfloor 10.13912 \rfloor = 10 \text{ л}$

Ответ:

10