Номер 531, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

531. В конусе, диаметр основания которого 4 дм, построено сечение, параллельное основанию. Площадь сечения равна $\pi \text{ дм}^2$. Найдите отношение объемов данного конуса и отсеченного усеченного конуса.

Дано:

Диаметр основания конуса $D_1 = 4$ дм.

Площадь сечения $S_2 = \pi$ дм$^2$.

Перевод в СИ:

$D_1 = 4$ дм $ = 0.4$ м.

$S_2 = \pi$ дм$^2 = \pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.01\pi$ м$^2$.

Найти:

Отношение объемов данного конуса и отсеченного усеченного конуса: $\frac{V_{конуса}}{V_{усеченного\_конуса}}$

Решение:

1. Найдем радиус основания большого конуса $R_1$: $R_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{4 \text{ дм}}{2} = 2$ дм.

2. Площадь основания большого конуса $S_1 = \pi R_1^2 = \pi (2 \text{ дм})^2 = 4\pi$ дм$^2$.

3. Площадь сечения $S_2 = \pi$ дм$^2$. Сечение является кругом. Найдем радиус сечения $R_2$:
$S_2 = \pi R_2^2$
$\pi \text{ дм}^2 = \pi R_2^2$
$R_2^2 = 1 \text{ дм}^2$
$R_2 = 1$ дм.

4. Сечение, параллельное основанию, отсекает от исходного конуса малый конус, который подобен исходному.
Отношение радиусов малого и большого конусов: $k = \frac{R_2}{R_1} = \frac{1 \text{ дм}}{2 \text{ дм}} = \frac{1}{2}$.

5. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
Пусть $V_1$ - объем большого конуса, $V_2$ - объем малого конуса.
$\frac{V_2}{V_1} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

6. Объем отсеченного усеченного конуса $V_{усеченного\_конуса}$ равен разности объемов большого и малого конусов:
$V_{усеченного\_конуса} = V_1 - V_2$.
Поскольку $V_2 = \frac{1}{8}V_1$, то
$V_{усеченного\_конуса} = V_1 - \frac{1}{8}V_1 = \frac{7}{8}V_1$.

7. Найдем искомое отношение объемов:
$\frac{V_1}{V_{усеченного\_конуса}} = \frac{V_1}{\frac{7}{8}V_1} = \frac{1}{\frac{7}{8}} = \frac{8}{7}$.

Ответ:

Отношение объемов равно $\frac{8}{7}$.