Номер 538, страница 159 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

538. Через две образующие усеченного конуса, угол между которыми $30^\circ$, проведена плоскость, пересекающая основания конуса по хордам, равным 2 дм и 1 дм. Каждая из этих хорд стягивает дугу $150^\circ$. Найдите объем усеченного конуса.

Дано:

Угол между образующими, через которые проведена плоскость: $\phi_g = 30^\circ$

Длина хорды на большем основании: $c_1 = 2 \text{ дм}$

Длина хорды на меньшем основании: $c_2 = 1 \text{ дм}$

Центральный угол, стягиваемый каждой хордой: $\phi_c = 150^\circ$

Перевод в СИ:

$c_1 = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$c_2 = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Объем усеченного конуса: $V$

Решение:

1. Найдем радиусы оснований $R_1$ и $R_2$. Хорда $c$ в окружности радиуса $R$ стягивает центральный угол $\phi_c$ по формуле $c = 2R \sin(\frac{\phi_c}{2})$.

Для большего основания:

$c_1 = 2R_1 \sin(\frac{150^\circ}{2}) \Rightarrow 2 = 2R_1 \sin(75^\circ)$

$R_1 = \frac{1}{\sin(75^\circ)}$

Значение $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$R_1 = \frac{1}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4} = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \text{ дм}$.

Для меньшего основания:

$c_2 = 2R_2 \sin(\frac{150^\circ}{2}) \Rightarrow 1 = 2R_2 \sin(75^\circ)$

$R_2 = \frac{1}{2\sin(75^\circ)} = \frac{1}{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \text{ дм}$.

2. Найдем длины образующих $L_1$ и $L_2$ полного конуса, из которого образован усеченный. Плоскость, проходящая через две образующие, образует с ними треугольник с вершиной в апексе полного конуса и основанием, равным хорде. Угол при вершине этого треугольника равен $30^\circ$. Таким образом, хорда $c$ связана с длиной образующей $L$ и этим углом $\phi_g$ формулой $c = 2L \sin(\frac{\phi_g}{2})$.

Для большей образующей полного конуса:

$c_1 = 2L_1 \sin(\frac{30^\circ}{2}) \Rightarrow 2 = 2L_1 \sin(15^\circ)$

$L_1 = \frac{1}{\sin(15^\circ)}$

Значение $\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

$L_1 = \frac{1}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})/4} = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \sqrt{6} + \sqrt{2} \text{ дм}$.

Для меньшей образующей полного конуса (до меньшего основания):

$c_2 = 2L_2 \sin(\frac{30^\circ}{2}) \Rightarrow 1 = 2L_2 \sin(15^\circ)$

$L_2 = \frac{1}{2\sin(15^\circ)} = \frac{1}{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ дм}$.

3. Найдем синус и косинус половины угла при вершине полного конуса ($\theta$). Для полного конуса с радиусом основания $R$ и образующей $L$ половина угла при вершине $\theta$ связана соотношением $\sin(\theta) = \frac{R}{L}$.

$\sin(\theta) = \frac{R_1}{L_1} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$.

Известно, что $2 - \sqrt{3} = \tan(15^\circ)$. Значит, $\sin(\theta) = \tan(15^\circ)$.

Теперь найдем $\cos(\theta)$: $\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) = 1 - (2 - \sqrt{3})^2 = 1 - (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 1 - (7 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 6$.

$\cos(\theta) = \sqrt{4\sqrt{3} - 6}$.

4. Найдем высоту $h$ усеченного конуса. Высота полного конуса $H = L_1 \cos(\theta)$, высота отсеченного малого конуса $H_2 = L_2 \cos(\theta)$.

$h = H - H_2 = (L_1 - L_2)\cos(\theta)$.

$L_1 - L_2 = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - \frac{1}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \frac{1}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})$.

$h = \frac{1}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{4\sqrt{3} - 6}$.

Возведем $h$ в квадрат для упрощения:

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)^2 (4\sqrt{3} - 6) = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{4} (4\sqrt{3} - 6) = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4} (4\sqrt{3} - 6) = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} (4\sqrt{3} - 6) = (2 + \sqrt{3})(4\sqrt{3} - 6)$.

$h^2 = 8\sqrt{3} - 12 + 4\sqrt{3}\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 8\sqrt{3} - 12 + 12 - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Таким образом, $h = \sqrt{2\sqrt{3}} \text{ дм}$.

5. Вычислим объем усеченного конуса по формуле $V = \frac{1}{3} \pi h (R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2)$.

Вычислим необходимые слагаемые:

$R_1^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}$.

$R_2^2 = \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(8 - 4\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$.

$R_1R_2 = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{1}{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \frac{1}{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(8 - 4\sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3}$.

Сумма площадей оснований и их произведения:

$R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2 = (8 - 4\sqrt{3}) + (4 - 2\sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 14 - 7\sqrt{3} = 7(2 - \sqrt{3})$.

Подставим все значения в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{2\sqrt{3}} \cdot 7(2 - \sqrt{3})$.

$V = \frac{7\pi}{3} (2 - \sqrt{3}) \sqrt{2\sqrt{3}} \text{ дм}^3$.

Ответ:

Объем усеченного конуса равен $V = \frac{7\pi}{3} (2 - \sqrt{3}) \sqrt{2\sqrt{3}} \text{ дм}^3$.