Номер 539, страница 159 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

539. Около шара радиуса $R$ описан конус наименьшего объема. Найдите этот объем.

Дано:

Радиус шара: $R$

Найти:

Наименьший объем конуса, описанного около шара.

Решение:

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $H$ — высота конуса.

Объем конуса $V$ выражается формулой:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$

Рассмотрим осевое сечение конуса с вписанным шаром. Это равнобедренный треугольник, в который вписана окружность.

Пусть $A$ — вершина конуса, $O_c$ — центр основания конуса, $P$ — точка на окружности основания. Треугольник $A O_c P$ — прямоугольный с катетами $H$ (высота $A O_c$) и $r$ (радиус основания $O_c P$), и гипотенузой $L = AP = \sqrt{H^2 + r^2}$ (образующая конуса).

Центр шара $O$ лежит на высоте $A O_c$, и $O O_c = R$. Расстояние от вершины конуса до центра шара $A O = H - R$.

Проведем радиус шара $OT$ к образующей $AP$ в точку касания $T$. $OT \perp AP$, и $OT = R$.

Треугольники $A O_c P$ и $A T O$ подобны (по двум углам: $\angle A$ общий, $\angle A O_c P = \angle A T O = 90^\circ$).

Из подобия треугольников следует отношение сторон:

$\frac{O T}{O_c P} = \frac{A O}{A P}$

Подставим известные значения:

$\frac{R}{r} = \frac{H-R}{\sqrt{H^2 + r^2}}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы выразить $r^2$ через $H$ и $R$:

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{(H-R)^2}{H^2 + r^2}$

$R^2 (H^2 + r^2) = r^2 (H-R)^2$

$R^2 H^2 + R^2 r^2 = r^2 (H^2 - 2HR + R^2)$

$R^2 H^2 + R^2 r^2 = r^2 H^2 - 2HR r^2 + R^2 r^2$

$R^2 H^2 = r^2 H^2 - 2HR r^2$

$R^2 H^2 = r^2 (H^2 - 2HR)$

Выразим $r^2$:

$r^2 = \frac{R^2 H^2}{H^2 - 2HR}$

Заметим, что для существования конуса, вписанного в шар, $H^2 - 2HR > 0$, что означает $H(H - 2R) > 0$. Поскольку $H > 0$, то $H > 2R$.

Теперь подставим это выражение для $r^2$ в формулу объема конуса:

$V(H) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{R^2 H^2}{H^2 - 2HR} \right) H$

$V(H) = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2 H^3}{H^2 - 2HR}$

Вынесем $H$ из знаменателя:

$V(H) = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2 H^3}{H(H - 2R)} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{H^2}{H - 2R}$

Для нахождения наименьшего объема, найдем производную $V(H)$ по $H$ и приравняем ее к нулю:

$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{d}{dH} \left( \frac{H^2}{H - 2R} \right)$

Используем правило дифференцирования дроби $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$u = H^2 \implies u' = 2H$

$v = H - 2R \implies v' = 1$

$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{2H(H - 2R) - H^2(1)}{(H - 2R)^2}$

$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{2H^2 - 4HR - H^2}{(H - 2R)^2}$

$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{H^2 - 4HR}{(H - 2R)^2}$

Приравняем производную к нулю:

$\frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{H^2 - 4HR}{(H - 2R)^2} = 0$

Так как $\frac{\pi R^2}{3} \ne 0$ и $(H - 2R)^2 \ne 0$ (поскольку $H > 2R$), то:

$H^2 - 4HR = 0$

$H(H - 4R) = 0$

Поскольку $H > 2R$, то $H \ne 0$. Следовательно:

$H - 4R = 0 \implies H = 4R$

Для проверки, что это минимум, рассмотрим знак $V'(H)$: при $2R < H < 4R$, $H - 4R < 0$, значит $V'(H) < 0$ (функция убывает); при $H > 4R$, $H - 4R > 0$, значит $V'(H) > 0$ (функция возрастает). Таким образом, $H = 4R$ является точкой минимума.

Подставим $H = 4R$ в формулу объема конуса:

$V_{min} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{(4R)^2}{4R - 2R}$

$V_{min} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{16R^2}{2R}$

$V_{min} = \frac{\pi R^2}{3} (8R)$

$V_{min} = \frac{8}{3}\pi R^3$

Ответ:

Наименьший объем конуса равен $\frac{8}{3}\pi R^3$.