Номер 544, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

544. a) Площадь сечения шара плоскостью в 9 раз меньше площади поверхности шара. Найдите объем шара, если радиус сечения равен 2 см.

б) Найдите объем шара, площадь большого круга которого равна $ \frac{9\pi}{16} $ см².

a)

Дано:

$S_{сеч}$ - площадь сечения шара.

$S_{пов}$ - площадь поверхности шара.

$S_{сеч} = \frac{1}{9} S_{пов}$

$r_{сеч} = 2 \, \text{см}$

Перевод в СИ:

$r_{сеч} = 2 \, \text{см} = 0.02 \, \text{м}$

Найти:

$V_{шара}$ - объем шара.

Решение:

Площадь сечения шара, которое является кругом, определяется по формуле $S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2$.

Подставим известное значение радиуса сечения:

$S_{сеч} = \pi (2 \, \text{см})^2 = 4\pi \, \text{см}^2$.

Площадь поверхности шара $S_{пов}$ связана с площадью сечения соотношением $S_{пов} = 9 S_{сеч}$.

$S_{пов} = 9 \cdot 4\pi = 36\pi \, \text{см}^2$.

Площадь поверхности шара также выражается формулой $S_{пов} = 4\pi R^2$, где $R$ - радиус шара.

Приравняем две формулы для площади поверхности, чтобы найти радиус шара:

$4\pi R^2 = 36\pi$

$R^2 = \frac{36\pi}{4\pi} = 9$

$R = \sqrt{9} = 3 \, \text{см}$.

Теперь найдем объем шара по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (3 \, \text{см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \, \text{см}^3 = 4\pi \cdot 9 \, \text{см}^3 = 36\pi \, \text{см}^3$.

Ответ: $36\pi \, \text{см}^3$

б)

Дано:

$S_{б.кр.}$ - площадь большого круга шара.

$S_{б.кр.} = \frac{9\pi}{16} \, \text{см}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{б.кр.} = \frac{9\pi}{16} \, \text{см}^2 = \frac{9\pi}{16} \cdot (10^{-2})^2 \, \text{м}^2 = \frac{9\pi}{16} \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2$.

Найти:

$V_{шара}$ - объем шара.

Решение:

Площадь большого круга шара определяется по формуле $S_{б.кр.} = \pi R^2$, где $R$ - радиус шара.

Подставим известное значение площади большого круга, чтобы найти радиус шара:

$\pi R^2 = \frac{9\pi}{16}$

$R^2 = \frac{9\pi}{16\pi} = \frac{9}{16}$

$R = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \, \text{см}$.

Теперь найдем объем шара по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{4} \, \text{см}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3^3}{4^3} \, \text{см}^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{64} \, \text{см}^3$.

Произведем сокращение:

$V_{шара} = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 64}\pi \, \text{см}^3 = \frac{108}{192}\pi \, \text{см}^3$.

Разделим числитель и знаменатель дроби на 12:

$V_{шара} = \frac{9}{16}\pi \, \text{см}^3$.

Ответ: $\frac{9\pi}{16} \, \text{см}^3$