Номер 548, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

548. a) Правильная треугольная призма вписана в шар. Найдите объем шара, если сторона основания призмы равна 3 см, а ее высота $2\sqrt{6}$ см.

б) Найдите объем шара, описанного около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 дм, 3 дм и 6 дм.

а) Для нахождения объема шара необходимо сначала найти его радиус $R$. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Поскольку правильная треугольная призма вписана в шар, все ее вершины лежат на поверхности шара. Центр описанного шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры оснований. Радиус шара $R$ можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются половина высоты призмы $(\frac{H}{2})$ и радиус окружности, описанной около основания призмы $(r)$. Дано: сторона основания $a = 3$ см, высота призмы $H = 2\sqrt{6}$ см. Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания (правильного треугольника): $r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. Половина высоты призмы равна $\frac{H}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$ см. Теперь найдем квадрат радиуса шара $R$ по теореме Пифагора: $R^2 = (\frac{H}{2})^2 + r^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2 = 6 + 3 = 9$. Отсюда радиус шара $R = \sqrt{9} = 3$ см. Наконец, вычисляем объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 4 \cdot 9 \pi = 36\pi$ см³. Ответ: $36\pi$ см³.

б) Для нахождения объема шара, описанного около прямоугольного параллелепипеда, необходимо найти его радиус $R$. Диаметр $2R$ такого шара равен пространственной диагонали $d$ параллелепипеда. Даны измерения параллелепипеда: $a = 2$ дм, $b = 3$ дм, $c = 6$ дм. Сначала найдем квадрат пространственной диагонали по формуле $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Подставляем значения: $d^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49$. Отсюда диагональ $d = \sqrt{49} = 7$ дм. Радиус шара равен половине диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{7}{2}$ дм. Теперь вычислим объем шара по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{7}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{7^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{343}{8} = \frac{4 \cdot 343 \pi}{3 \cdot 8} = \frac{343\pi}{6}$ дм³. Ответ: $\frac{343\pi}{6}$ дм³.