Номер 552, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

552. a) Найдите объем сегмента, содержащегося в полушаре, если его основание находится на расстоянии 2 см от центра шара, радиус которого 5 см.

б) Плоскость, проведенная через конец радиуса шара и образующая с ним угол $60^\circ$, отсекает от полушара сегмент. Найдите его объем, если радиус шара равен 2 дм.

а)

Дано: радиус шара $R = 5$ см, расстояние от центра шара до основания сегмента $d = 2$ см. Сегмент содержится в полушаре, что означает, что его основание параллельно основанию полушара.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Высота сегмента $h$ — это разность между радиусом шара и расстоянием от центра до основания сегмента.

$h = R - d = 5 - 2 = 3$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу для вычисления объема:

$V = \pi \cdot 3^2 \cdot (5 - \frac{3}{3}) = \pi \cdot 9 \cdot (5 - 1) = \pi \cdot 9 \cdot 4 = 36\pi$ см³.

Ответ: $36\pi$ см³.

б)

Дано: радиус шара $R = 2$ дм. Плоскость, отсекающая сегмент, проходит через конец радиуса и образует с ним угол $\alpha = 60^\circ$.

Сначала найдем расстояние $d$ от центра шара до секущей плоскости. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус $R$, проведенный в точку на плоскости, а одним из катетов — перпендикуляр $d$, опущенный из центра на эту плоскость. Угол между радиусом и плоскостью (угол между гипотенузой и другим катетом) по условию равен $60^\circ$.

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\alpha) = \frac{d}{R}$

Отсюда $d = R \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

Высота отсекаемого сегмента $h$ равна разности радиуса и расстояния от центра до плоскости:

$h = R - d = 2 - \sqrt{3}$ дм.

Теперь используем формулу объема шарового сегмента: $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

Подставим значения $R$ и $h$:

$V = \pi (2 - \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \frac{2 - \sqrt{3}}{3})$

Вычислим каждый из множителей:

$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

$2 - \frac{2 - \sqrt{3}}{3} = \frac{3 \cdot 2 - (2 - \sqrt{3})}{3} = \frac{6 - 2 + \sqrt{3}}{3} = \frac{4 + \sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем произведение, чтобы получить объем:

$V = \pi \cdot (7 - 4\sqrt{3}) \cdot \frac{4 + \sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3} (7 - 4\sqrt{3})(4 + \sqrt{3})$

$V = \frac{\pi}{3} (7 \cdot 4 + 7\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot 4 - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} (28 + 7\sqrt{3} - 16\sqrt{3} - 12)$

$V = \frac{\pi}{3} (16 - 9\sqrt{3})$ дм³.

Ответ: $\frac{\pi(16 - 9\sqrt{3})}{3}$ дм³.