Номер 557, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

557. Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Сравните объем полученного шарового слоя с суммой объемов двух шаровых сегментов.

Пусть радиус шара равен $R$, тогда его диаметр $D=2R$.

По условию задачи, диаметр разделен на три равные части. Длина каждой части равна $\frac{2R}{3}$. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Эти плоскости отсекают от шара два одинаковых шаровых сегмента и образуют центральный шаровой слой.

Высота каждого из двух шаровых сегментов равна длине одной из трех частей диаметра, то есть $h = \frac{2R}{3}$.

Объем шарового сегмента находится по формуле: $V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

Подставим в эту формулу значение высоты $h = \frac{2R}{3}$:

$V_{сег} = \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 \left(R - \frac{1}{3} \cdot \frac{2R}{3}\right) = \pi \frac{4R^2}{9} \left(R - \frac{2R}{9}\right) = \pi \frac{4R^2}{9} \left(\frac{9R - 2R}{9}\right) = \pi \frac{4R^2}{9} \cdot \frac{7R}{9} = \frac{28\pi R^3}{81}$.

Так как у нас два идентичных шаровых сегмента, их суммарный объем $V_{2сег}$ равен:

$V_{2сег} = 2 \cdot V_{сег} = 2 \cdot \frac{28\pi R^3}{81} = \frac{56\pi R^3}{81}$.

Теперь вычислим объем центрального шарового слоя $V_{слоя}$. Его можно найти, вычтя из полного объема шара объемы двух найденных сегментов.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V_{слоя} = V_{шара} - V_{2сег} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{56\pi R^3}{81}$.

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю 81:

$V_{слоя} = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 27}\pi R^3 - \frac{56\pi R^3}{81} = \frac{108\pi R^3}{81} - \frac{56\pi R^3}{81} = \frac{(108 - 56)\pi R^3}{81} = \frac{52\pi R^3}{81}$.

Осталось сравнить объем шарового слоя с суммой объемов двух шаровых сегментов:

$V_{слоя} = \frac{52\pi R^3}{81}$

$V_{2сег} = \frac{56\pi R^3}{81}$

Поскольку $52 < 56$, то $\frac{52\pi R^3}{81} < \frac{56\pi R^3}{81}$, следовательно, $V_{слоя} < V_{2сег}$.

Ответ: Объем полученного шарового слоя меньше суммы объемов двух шаровых сегментов.