Номер 559, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

559. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, площадь диагонального сечения которой $3\sqrt{3}$ дм$^{2}$. Найдите объем шара, если боковое ребро пирамиды равно диагонали ее основания.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида, вписанная в шар. Обозначим диагональ ее основания как $d$, боковое ребро как $L$ и высоту как $H$.

Диагональное сечение этой пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ основания пирамиды $d$, а боковыми сторонами — два боковых ребра $L$.

Согласно условию задачи, боковое ребро пирамиды равно диагонали ее основания, то есть $L = d$. Это означает, что диагональное сечение является равносторонним треугольником со стороной, равной $d$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. В нашем случае стороной является диагональ $d$, а площадь сечения по условию равна $3\sqrt{3}$ дм². Составим уравнение:

$\frac{d^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$\frac{d^2}{4} = 3$

Отсюда находим квадрат диагонали:

$d^2 = 12$

$d = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ дм.

Так как пирамида вписана в шар, то все ее вершины лежат на поверхности шара. Вершины диагонального сечения (вершина пирамиды и две противоположные вершины основания) также лежат на поверхности шара. Следовательно, окружность, описанная вокруг этого равностороннего треугольника (диагонального сечения), является большим кругом шара, и ее радиус $R$ будет равен радиусу шара.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $s$, находится по формуле $R = \frac{s}{\sqrt{3}}$. В нашем случае $s = d = 2\sqrt{3}$ дм. Найдем радиус шара:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ дм.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим найденное значение радиуса:

$V = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}$ дм³.

Ответ: $\frac{32\pi}{3}$ дм³.