Номер 556, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

556. Найдите:

а) объем шарового сектора, радиус которого равен 3 дм, а угол между двумя радиусами в его осевом сечении $120^\circ$;

б) отношение объема шарового сектора к объему шара, если площадь осевого сечения сектора в 3 раза меньше площади большого круга шара.

а) Объем шарового сектора вычисляется по формуле $V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота соответствующего шарового сегмента.
По условию, радиус шара $R = 3$ дм, а угол в осевом сечении $\alpha = 120°$.
Высоту шарового сегмента $h$ можно найти из осевого сечения. Осевое сечение шарового сектора — это круговой сектор. Расстояние от центра шара до плоскости, отсекающей шаровой сегмент, равно $d = R \cos(\frac{\alpha}{2})$.
Найдем это расстояние:
$d = 3 \cdot \cos(\frac{120°}{2}) = 3 \cdot \cos(60°) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$ дм.
Высота шарового сегмента $h$ равна разности между радиусом шара и расстоянием $d$:
$h = R - d = 3 - 1.5 = 1.5$ дм.
Теперь вычислим объем шарового сектора:
$V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi R^2 h = \frac{2}{3} \pi \cdot (3)^2 \cdot 1.5 = \frac{2}{3} \pi \cdot 9 \cdot 1.5 = 6\pi \cdot 1.5 = 9\pi$ дм³.
Ответ: $9\pi$ дм³.

б) Найдем отношение объема шарового сектора $V_{сектора}$ к объему шара $V_{шара}$.
Формула объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$.
Формула объема шарового сектора: $V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi R^2 h$.
Их отношение: $\frac{V_{сектора}}{V_{шара}} = \frac{\frac{2}{3} \pi R^2 h}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{2R^2 h}{4R^3} = \frac{h}{2R}$.
По условию, площадь осевого сечения сектора ($S_{сечения}$) в 3 раза меньше площади большого круга шара ($S_{круга}$).
Площадь большого круга: $S_{круга} = \pi R^2$.
Площадь осевого сечения, которое является круговым сектором с углом $\alpha$: $S_{сечения} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$.
Составим уравнение из условия $S_{круга} = 3 \cdot S_{сечения}$:
$\pi R^2 = 3 \cdot \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$
Разделив обе части на $\pi R^2$, получим:
$1 = \frac{3\alpha}{360°} \implies \alpha = \frac{360°}{3} = 120°$.
Теперь найдем высоту $h$ шарового сегмента, соответствующую этому углу:
$h = R - R \cos(\frac{\alpha}{2}) = R - R \cos(\frac{120°}{2}) = R - R \cos(60°) = R - R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.
Подставим найденное выражение для $h$ в формулу для отношения объемов:
$\frac{V_{сектора}}{V_{шара}} = \frac{h}{2R} = \frac{\frac{R}{2}}{2R} = \frac{R}{2 \cdot 2R} = \frac{R}{4R} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.