Номер 562, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

562. Найдите объем прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, в которой $AC = 2$ см, $BC = 2 \sqrt{7}$ см, двугранный угол при ребре $AA_1$ равен $150^\circ$, $AM = \sqrt{7}$ см, где $M$ – середина ребра $B_1 C_1$.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота призмы. Для решения задачи нам необходимо последовательно найти площадь основания и высоту призмы.

1. Нахождение площади основания призмы

Основанием призмы является треугольник $ABC$. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Двугранный угол при боковом ребре $AA_1$ измеряется линейным углом между лучами $AB$ и $AC$, которые лежат в гранях $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ и перпендикулярны ребру $AA_1$. Таким образом, угол $\angle BAC$ равен заданному двугранному углу, то есть $\angle BAC = 150^\circ$.

В треугольнике $ABC$ известны две стороны $AC = 2$ см, $BC = 2\sqrt{7}$ см и угол между сторонами $AB$ и $AC$, $\angle BAC = 150^\circ$. Чтобы найти площадь основания, сначала найдем длину стороны $AB$, используя теорему косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные значения:

$(2\sqrt{7})^2 = AB^2 + 2^2 - 2 \cdot AB \cdot 2 \cdot \cos(150^\circ)$

Зная, что $\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$28 = AB^2 + 4 - 4 \cdot AB \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$28 = AB^2 + 4 + 2\sqrt{3}AB$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду относительно $AB$:

$AB^2 + 2\sqrt{3}AB - 24 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 12 + 96 = 108$

Корни уравнения равны $AB = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{108}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 6\sqrt{3}}{2}$.

Так как длина стороны должна быть положительной, выбираем корень со знаком "плюс":

$AB = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь основания $S_{осн}$ (площадь треугольника $ABC$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$

Зная, что $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.

2. Нахождение высоты призмы

Высотой прямой призмы является длина ее бокового ребра, то есть $H = AA_1$.

Рассмотрим треугольник $AA_1M$. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе отрезку $A_1M$. Это означает, что треугольник $AA_1M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$.

По теореме Пифагора для треугольника $AA_1M$ имеем: $AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2$.

Из условия задачи нам известна длина $AM = \sqrt{7}$ см. Нам нужно найти длину отрезка $A_1M$.

Точка $M$ является серединой ребра $B_1C_1$, поэтому отрезок $A_1M$ - это медиана треугольника $A_1B_1C_1$. Основания призмы конгруэнтны, поэтому $\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle ABC$. Стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны: $A_1B_1 = AB = 2\sqrt{3}$ см, $A_1C_1 = AC = 2$ см, и $B_1C_1 = BC = 2\sqrt{7}$ см.

Найдем квадрат длины медианы $A_1M$ по формуле:

$A_1M^2 = \frac{2(A_1B_1)^2 + 2(A_1C_1)^2 - (B_1C_1)^2}{4}$

$A_1M^2 = \frac{2(2\sqrt{3})^2 + 2(2)^2 - (2\sqrt{7})^2}{4} = \frac{2 \cdot 12 + 2 \cdot 4 - 28}{4} = \frac{24 + 8 - 28}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Следовательно, $A_1M = 1$ см.

Теперь мы можем найти высоту призмы $H = AA_1$ из теоремы Пифагора:

$H^2 = AA_1^2 = AM^2 - A_1M^2 = (\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6$

$H = \sqrt{6}$ см.

3. Вычисление объема призмы

Зная площадь основания и высоту, вычисляем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см$^3$.