Номер 566, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

566. Основанием четырехугольной пирамиды $PABCD$ является параллелограмм $ABCD$, причем $AB = BP = 1 \text{ дм}$, $PD = 2 \text{ дм}$, $\angle ABD = \angle BPD = 90^\circ$. Найдите объем этой пирамиды, если основание ее высоты является внутренней точкой отрезка $BD$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является параллелограмм $ABCD$. Его площадь $S_{ABCD}$ равна удвоенной площади треугольника $ABD$: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABD}$.

По условию $\angle ABD = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ABD$ — прямоугольный. Его площадь равна половине произведения сторон, образующих прямой угол, то есть $AB$ и $BD$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot BD$.

Таким образом, площадь основания пирамиды:

$S_{осн} = S_{ABCD} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} AB \cdot BD\right) = AB \cdot BD$.

2. Найдем высоту пирамиды.

Пусть $PH$ — высота пирамиды. По условию, основание высоты, точка $H$, является внутренней точкой отрезка $BD$. Это означает, что $PH \perp BD$, и $PH$ является высотой в треугольнике $PBD$, опущенной из вершины $P$ на сторону $BD$.

Рассмотрим треугольник $PBD$. По условию $\angle BPD = 90^\circ$, $PB = 1$ дм, $PD = 2$ дм. Этот треугольник является прямоугольным.

Длину гипотенузы $BD$ можно найти по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{PB^2 + PD^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ дм.

Высоту $h = PH$, проведенную к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, можно найти по формуле $h = \frac{a \cdot b}{c}$, где $a, b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

$h = PH = \frac{PB \cdot PD}{BD} = \frac{1 \cdot 2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ дм.

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные выражения для площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} (AB \cdot BD) \cdot \left(\frac{PB \cdot PD}{BD}\right)$.

Длина диагонали $BD$ в этом выражении сокращается:

$V = \frac{1}{3} AB \cdot PB \cdot PD$.

Подставим известные значения $AB=1$, $PB=1$, $PD=2$:

$V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = \frac{2}{3}$ дм$^3$.

Ответ: $\frac{2}{3}$ дм$^3$.